Cách tính đạo hàm của hàm số logarit cực kì đơn giản

Đạo hàm của hàm số chúng ta đã được biết tới trong chương trình lớp 11 nhưng phải tới chương trình lớp 12 chúng ta mới được biết tới hàm số logarit và đạo hàm của hàm logarit. Công thức tính đạo hàm của hàm số logarit thì không nhiều nhưng có thể do ít dùng tới nên nhiều bạn không nhớ và chưa rõ cách vận dụng.

Nhiều bạn comment hỏi thầy về cách tính đạo hàm của hàm số logarit và đề nghị thầy viết một bài giảng về nội dung này. Vì vậy hôm nay thầy sẽ gửi tới các bạn một số bài tập tính đạo hàm của hàm logarit và giải đáp thắc mắc của một số bạn.

Công thức tính đạo hàm của hàm số Logarit:

1. $log_ax=dfrac{1}{x.lna}$ 2. $log_au=dfrac{u’}{u.lna}$

3. $lnx=dfrac{1}{x}$ 4. $lnu=dfrac{u’}{u}$

Bài tập tính đạo hàm của hàm số logarit:

Về cách tìm điều kiện để hàm số logarit tồn tại thì thầy sẽ không nhắc lại ở bài giảng này. Những bài tập trong bài giảng hôm nay chúng ta sẽ giả sử là các hàm logarit này đều có nghĩa để không mất thời gian vào việc tìm điều kiện xác định.

Các bạn có thể tham khảo một số bài giảng:

• Toàn bộ lý thuyết hàm số logarit và phương trình logarit
• Video bài giảng phương trình logarit hay và chi tiết
• Phương pháp giải các dạng phương trình mũ bằng video
• Cách tính đạo hàm của hàm số hợp
• Cách tính đạo hàm của hàm số mũ

Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số logarit sau, với giả thiết các hàm đều có nghĩa:

1 . $y=log_3(2x+1)$ 2. $y=log_5(3x^4-5x^2-2)$

3. $y=log_4left(frac{x-2}{x^2+4}right)$

Hướng dẫn:

3 ý trong bài tập 1 này chúng ta thấy chúng đều có dạng của công thức 2, tức là đạo hàm của hàm hợp. Vậy quá rõ ràng để chúng ta tiến hành đi tìm đạo hàm của những hàm số logarit này rồi.

1. $y’=left [ log_3(2x+1)right ]’ = dfrac{(2x+1)’}{(2x+1).ln3}=dfrac{2}{(2x+1).ln3}$

2. $y’=left [ log_5(3x^4-5x^2-2)right ]’=dfrac{(3x^4-5x^2-2)’}{(3x^4-5x^2-2).ln5}=dfrac{12x^3-10x}{(3x^4-5x^2-2).ln5}$

3. $y’=left [ log_4(dfrac{x-2}{x^2+4})right ]’=dfrac{left(dfrac{x-2}{x^2+4}right)’}{dfrac{x-2}{x^2+4}.ln4}=dfrac{-x^2+4x+4}{(x^2+4)^2.dfrac{x-2}{x^2+4}.ln4}=dfrac{-x^2+4x+4}{(x^2+4)(x-2).ln4}$

Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số logarit sau, với giả thiết các hàm đều có nghĩa:

1. $y=log_3(sqrt{x^2-4x++8})$ 2. $y=log_5(log_2x^2)$

3. $y=ln(x^3-2x^2+9)$ 4. $y=ln(log_4({x^2+2}))$

Hướng dẫn:

1. $y’=left [ log_3(sqrt{x^2-4x+8})right ]’$

$=dfrac{(sqrt{x^2-4x+8})’}{(sqrt{x^2-4x++8}).ln3}$

$=dfrac{(x^2-4x+8)’}{2.sqrt{x^2-4x+8}.sqrt{x^2-4x+8}.ln3}$

$=dfrac{2x-4}{2.(x^2-4x+8).ln3}$

$=dfrac{x-2}{(x^2-4x+8).ln3}$

2. $y’=left [ log_5(log_2x^2)right ]’=dfrac{(log_2{x^2})’}{log_2{x^2}.ln5}=dfrac{(x^2)’}{x^2.ln2.log_2{x^2}.ln5}=dfrac{2x}{x^2.ln2.ln5.log_2{x^2}}$

3. $y’=left [ln(x^3-2x^2+9)right ]’ = dfrac{(x^3-2x^2+9)’}{x^3-2x^2+9}=dfrac{3x^2-4x}{x^3-2x^2+9}$

4. $y’=left [ ln(log_4({x^2+2})) right ]’=dfrac{[log_4({x^2+2})]’}{log_4({x^2+2})}=dfrac{2x}{(x^2+2).ln4.log_4({x^2+2})}$

Như vậy qua 2 bài tập ở trên có lẽ đã giúp các bạn giải đáp những thắc mắc về đạo hàm của hàm logarit cơ số a bất kì và đạo hàm của hàm logarit nêpe (logarit cơ số e).

Tuy nhiên còn một số câu hỏi nữa khá hay của một số bạn học sinh nhưng lại rất ít bạn đề cập tới. Có lẽ trong quá trình tính đạo hàm các bạn ít thấy những bài tập kiểu thế này. Cụ thể như sau:

Câu hỏi 1: Đạo hàm của hàm số logarit với cơ số là a, a là hằng số thì em biết cách tính nhưng với hàm logarit mà cơ số chứa ẩn thì em chưa biết cách làm. Chẳng hạn như $log_x2$ hoặc $log_{x+2}15$… Thầy giúp em với ạ.

Đối với dạng bài tập kiểu này ( tức là cơ số chứa ẩn còn biểu thức logarit là hằng số) thì các bạn sẽ tính đạo hàm bằng cách sử dụng công thức đổi cơ số. Hàm logarit ở đây chỉ có cơ số chứa ẩn nên các bạn sử dụng ngay công thức sau:

$log_ax = dfrac{1}{log_xa}$

Tới đây, để tính đạo hàm của hàm logarit chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm phân thức có chứa logarit.

Ví dụ:

$y=log_{x+2}5 = dfrac{1}{log_5{(x+2)}}Rightarrow y’=dfrac{-left [ log_5{(x+2)}right ]’}{log_5^2{(x+2)}}=dfrac{-1}{(x+2).ln5.log_5^2{(x+2)}}$

Các bạn chú ý là phải có điều kiện nhé.

Câu hỏi 2: Với những hàm số logarit mà cả cơ số và biểu thức logarit đều chứa ẩn thì làm như thế nào vậy thầy? Em không thấy có công thức tính đạo hàm của những hàm dạng này? Thầy giúp em với.

Câu hỏi này cũng rất hay và chắc chắn nhiều bạn cũng sẽ thích khi đọc được câu hỏi này. Thầy xin trả lời các bạn như sau:

Để tính đạo hàm của hàm logarit mà cả biểu thức loga và cơ số đều chứa ẩn thì các bạn cũng cần sử dụng tới công thức đổi cơ số và đưa chúng về dạng cơ bản để tính đạo hàm. Cơ số các bạn đưa về là tùy ý, do các bạn biến đổi. Tuy nhiên nhớ là phải thỏa mãn điều kiện để hàm logarit tồn tại, tức là $0<a neq 1$.

Công thức sử dụng:

$log_ab = dfrac{log_cb}{log_ca}$

Ví dụ:

$y=log_{x+2}{(x+5)}=dfrac{log_e{(x+5)}}{log_e{(x+2)}}=dfrac{ln(x+5)}{ln(x+2)}$

$Rightarrow y’ = left [dfrac{ln(x+5)}{ln(x+2)}right ]’$

Hàm này có dạng $frac{u}{v}$ rồi, tới đây thầy nhường lại phần khó nhất cho các bạn tính tiếp nhé.

Ví dụ trên thầy đưa về cùng cơ số e để được biểu thức logarit nêpe cho dễ nhìn và dễ tính. Các bạn có thể tùy chọn cơ số khác theo sở thích của mình nhé.

Lời kết

Đạo hàm của hàm logarit về cơ bản thì cách tính là như vậy đó, bài tập thì có một số dạng như trên, câu hỏi của các bạn thì đã giải quyết. Các “HẠ” đọc nếu chưa thấy hài lòng và có đề nghị gì cho bài giảng thì xin chỉ giáo cho “tại hạ” bằng cách Comment bên dưới khung bình luận của bài giảng này nhé. Nếu thấy hay thì “SHARE” và tặng cho tại hạ 1 LIKE để động viên tinh thần.