Diện tích hình cầu – Kiến thức cần nhớ và bài tập áp dụng

Diện tích hình cầu là kiến thức nằm trong phân môn Hình học lớp 12. Trong các bài kiểm tra, kỳ thi sẽ xuất hiện rất nhiều bài toán dạng này. Vì thế, các em muốn củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng đừng bỏ qua những nội dung sẽ được trình bày sau đây.

1. Một số khái niệm

Hình cầu tồn tại ở rất nhiều vật dụng trong cuộc sống. Điển hình như quả bóng chuyền, pha lê, quả địa cầu, viên bi, quả bi -a,… Muốn hiểu thêm về hình học không gian chúng ta sẽ đi sâu tìm hiểu một số khái niệm sau:

1.1 – Mặt cầu

Ta xét trong không gian ba chiều, mặt cầu chính là quỹ tích tập hợp các điểm cách đều một điểm O. Điểm O này cố định cho trước một khoảng không đổi là R. Trong đó O là tâm của hình cầu và R là khoảng cách bán kính. Khi một mặt cầu được xác định khi ta biết được tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó.

Hay nói cách khác, mặt cầu chính là phần vỏ ngoài của hình cầu. Hơn hết, mặt cầu là khối cầu rỗng ở dạng 3D, có đặc trưng là diện tích.

Mặt cầu

1.2 – Hình cầu

Xét trong không gian ba chiều ta xoay nửa hình tròn tâm O bán kính R vòng quanh trục AB sẽ tạo ra một hình cầu. Theo đó:

• Điểm O chính là tâm của hình cầu.
• R là bán kính của hình cầu.
• Nửa đường tròn trong phép quay kể trên tạo nên mặt cầu.

Hay nói cách khác, hình cầu sẽ bao gồm cả mặt cầu và bao gồm phần mặt ngoài và phân bên trong bị giới hạn bởi bề mặt đó. Đồng thời, hình cầu ở dạng 2D và là khối cầu đặc. Đặc trưng của hình cầu chính là thể tích.

Hình cầu

Ngoài ra, hình cầu còn có một số tính chất quan trọng. Muốn làm tốt các bài tập tính diện tích hình cầu các em cần đặc biệt lưu tâm tới các điều sau:

• Khi bất kỳ một đường thẳng nào giao nhau với hình cầu và đi qua tâm của nó thì đó sẽ là trục đối xứng của hình. Ta xoay một quả cầu xung quanh trục này ở bất kỳ một góc đố nào đó sẽ biến nó thành chính nó.
• Khi một mặt phẳng cắt hình đang ghi ngấn thông qua tâm của nó sẽ chia hình cầu thành hai phần bằng nhau. Điều này có nghĩa là mặt phẳng phản xạ.

Lưu ý: Trước khi làm các bài tập yêu cầu tính diện tích mặt cầu các em cần phải phân biệt rõ. Điển hình như mặt cầu là gì, hình cầu như thế nào cho đúng. Bên cạnh đó mỗi cá nhân cần học thuộc các công thức để có kỹ năng linh hoạt, giải nhanh chóng.

1.3 – Khối cầu

Khối cầu là phần không gian nằm bên trong một bề mặt bao gồm các điểm trong không gian nằm cách một điểm cho trước. Điểm này gọi là tâm cùng một khoảng cách không đổi gọi là bán kính.

Khối cầu

2. Cách tính diện tích hình cầu, mặt cầu

Cách tính diện tích hình cầu bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn, bằng bốn lần hằng số Pi nhân với bình phương bán kính của hình cầu:

S = 4π.r2 = π.d2

Trong đó:

• Bán kính mặt cầu ký hiệu là r.
• Đường kính của mặt cầu ký hiệu là d.
• Hằng số pi – π có giá trị là 3,14.

Mặc dù một hình đặc biệt nhưng vẫn có diện tích xung quanh hình cầu. Theo đó, các em cần ghi nhớ rõ công thức sau: S = 4π.r2.

Ngoài ra còn có công thức tính thể tích của hình cầu: V = π.r3 = π.d3.

3. Một số ví dụ minh họa

Nhằm giúp các em học sinh củng cố kiến thức về diện tích hình cầu chuyên trang sẽ tổng hợp một số bài tập. Cùng với đó là cách trình bày chi tiết cùng lời giải chính xác. Độc giả quan tâm đừng bỏ lỡ thông tin chi tiết sau đây:

3.1 Ví dụ 1

Yêu cầu tính diện tích hình cầu biết rằng hình cầu đó có thể tích bằng 972π cm3.

Lời giải:

Theo đề bài ra ta có thể tích của hình cầu là V = π.r3 = 972π ⬄ r3 = 729, suy ra r = 9 (cm).

Ta có công thức tính diện tích của mặt cầu là S = 4π.r2. Tiến hành thay vào công thức ta được: S = 4π.92 = 324π (cm2). Như vậy, ta đã giải quyết xong bài toán với đáp số 324π (cm2) chính là diện tích của hình cầu.

3.2. Ví dụ 2

Yêu cầu tính thể tích của hình cầu biết rằng hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của hình nón. Đồng thời, đường sinh của hình nón bằng 12cm và diện tích xung quanh của hình nón cũng bằng diện tích mặt cầu.

Lời giải:

• Ta gọi bán kính của hình cầu và bán kính đáy của hình nón là r.
• Ta có diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq = πrI = 12πr.
• Công thức tính diện tích của mặt cầu là: S = 4πr2.
• Bởi diện tích xung quanh của hình nón bằng với diện tích của mặt cầu nên ta có:

12πr = 4πr2 suy ra, r = 3 (cm).

• Áp dụng công thức tính thể tích của hình cầu là: V = π.r3 = V = π.33 = 36π.

Như vậy, đối với bài tập này chúng ta chỉ việc suy luận và áp dụng đúng công thức đã có thể hoàn thành. Nhìn chung kiến thức không quá khó, chỉ cần các em dành thời gian luyện tập sẽ trở nên nhuần nhuyễn. Đồng thời, khi gặp phải dạng bài tương tự cũng tránh xa tình trạng lúng túng.

3.3. Ví dụ 3

Bài toán yêu cầu tính thể tích của hình cầu có bán kính bằng với bán kính của hình tròn. Biết rằng, hình tròn có chu vi là 31,4cm.

Lời giải:

Theo dữ kiện đề bài đã cho ta có chu vi hình tròn là C = πr = 31,4cm.

Từ đó ta suy ra được bán kính r = = 5cm.

Ta tìm được thể tích của khối cầu đã cho là: V = π.r3 = 523,3 cm3.

3.4. Ví dụ 4

Yêu cầu tính diện tích mặt cầu biết rằng hình cầu có đường kính d = 6cm.

Lời giải:

Theo đề bài ra ta có, đường kính d = 6cm.

Từ đó suy ra, bán kính hình cầu là r = = 3cm.

Ta áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu là: S = 4πr2 = 4π32 = 36π(cm2).

3.5. Ví dụ 5:

Yêu cầu tính diện tích mặt cầu biết rằng thể tích là V =

Lời giải:

Theo đề bài ra ta có: V = π.r3 = tương đương với 4r3 = 500 => r = 5cm.

Sau khi đã tìm ra được đại lượng r, ta dễ dàng tính được diện tích của mặt cầu như sau: S = 4π.52 = 100π (cm2).

3.6. Ví dụ 6

Biết một hình cầu có diện tích bề mặt là 144πcm2, yêu cầu:

1. Tính độ dài của đường tròn lớn bằng bao nhiêu?
2. Tính thể tích của hình cầu đó?

Lời giải:

4. Các dạng toán thường gặp về hình cầu

Sau khi tìm hiểu công thức tính diện tích hình cầu các em cũng nên tìm hiểu về những dạng toán thường gặp. Đối với nội dung này chúng ta thường được yêu cầu giải quyết các vấn đề như:

• Dạng toán thứ nhất: Yêu cầu tính thể tích mặt cầu, thể tích hình cầu và bán kính hình cầu. Phương pháp giải chính là sử dụng các công thức tính diện tích hình cầu như S = 4π.r2 và thể tích hình cầu là V = π.r3.
• Dạng toán thứ hai: Bài toán tổng hợp yêu cầu học sinh cần vận dụng tốt các kiến thức đã học để tính ra các đại lượng chưa biết rồi thực hiện tính diện tích bề mặt hình cầu và thể tích hình cầu.

=>> Xem thêm nội dung liên quan: Thể tích hình trụ

Như vậy những thông tin về diện tích hình cầu đã được trình bày cụ thể trên đây. Hi vọng các em học sinh cùng quý thầy cô đã tìm thấy nội dung hữu ích giúp học tốt hơn môn Hình học. Độc giả hãy tiếp tục theo dõi chuyên trang để không bỏ lỡ những kiến thức thiết thực khác.

Đăng kí ngay tại đây =>> Kiến Guru<<= để nhận khóa học chất lượng giúp trẻ phát triển tư trong học tập tốt hơn