Thế nào là đường vuông góc, đường xiên? Và có mối quan hệ nào

Khái niệm đường vuông góc, đường xiên là một trong những kiến thức quan trọng các em sẽ được tìm hiểu trong chương trình Hình học lớp 7. Vậy thế nào là đường vuông góc, đường xiên? Và đường vuông góc, đường xiên có mối quan hệ nào với nhau? Chúng ta cùng nhau tìm hiểu các khái niệm đó qua bài viết dưới đây nhé!

I. Đường vuông góc là gì?

Từ một điểm K nằm ngoài đường thẳng m, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng m tại H. Khi đó:

+ Đoạn thẳng KH được gọi là đường vuông góc hoặc đoạn vuông góc kẻ từ K đến đường thẳng m.

+ Điểm H được gọi là hình chiếu của điểm K trên đường thẳng m. Ngoài ra, điểm H còn được gọi là chân đường vuông góc kẻ từ K đến đường thẳng m.

II. Đường xiên là gì?

Trên hình vẽ trên, lấy điểm N bất kỳ trên đường thẳng m (sao cho điểm N không trùng với điểm H). Khi đó đoạn thẳng KN được gọi là đường xiên kẻ từ K đến đường thẳng m.

Nhận xét:

Từ hai khái niệm trên ta rút ra được nhận xét: Với mỗi điểm nằm ngoài đường thẳng đã cho, ta kẻ được duy nhất một đường vuông góc và vô số đường xiên đến đường thẳng đó.

III. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Ta có định lý về mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên như sau:

Trong tất cả các đường xiên và đường vuông góc cùng kẻ từ điểm A nằm ngoài đường thẳng u đến đường thẳng u thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Điều này chúng ta hoàn toàn chứng minh được dựa vào tính chất của tam giác vuông.

Ví dụ 1. Cho đường thẳng u và một điểm A nằm ngoài đường thẳng u. Gọi M là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng u. Chứng minh rằng với mọi điểm G thuộc đường thẳng u (khác điểm M) ta luôn có AM < AG.

Giải.

– Cách 1: Ta có M là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng u nên từ A ta kẻ đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng u và M thuộc đường thẳng u.

Với điểm G bất kỳ trên đường thẳng u (khác điểm M) ta luôn có tam giác AGM vuông tại M. Khi đó AG là cạnh huyền, AM là cạnh góc vuông.

Suy ra AM < AG (cạnh góc vuông luôn bé hơn cạnh huyền).

– Cách 2: Ngoài ra ta cũng có thể so sánh đường vuông góc và đường xiên dựa vào định lý Py-ta-go.

Ta có tam giác AGM vuông tại M suy ra

AG2 = AM2 + GM2 (Áp dụng định lý Pytago)

⇒ AG2 > AM2

⇒ AG > AM

Vậy AM < AG.

IV. Một số bài tập liên quan đường vuông góc và đường xiên

1. Các câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1: Trong các phát biểu nêu dưới đây về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, phát biểu nào đúng:

A. Trong tất cả các đường xiên và đường vuông góc cùng kẻ từ điểm S nằm ngoài đường thẳng m đến đường thẳng m thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

B. Từ một điểm N nằm ngoài đường thẳng u, ta có thể kẻ vô số đường thẳng qua N và vuông góc với u.

C. Trong tất cả các đường xiên và đường vuông góc cùng kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc luôn lớn hơn đường xiên.

D. Từ một điểm N nằm ngoài đường thẳng u, ta có thể kẻ duy nhất một đường xiên từ điểm N đến đường thẳng u.

ĐÁP ÁN

Chọn đáp án A.

Dựa vào định lý về mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, phát biểu A đúng.

B. Sai vì từ một điểm N nằm ngoài đường thẳng u, ta chỉ vẽ duy nhất một đường thẳng qua N và vuông góc với u.

C. Sai vì dựa vào định lý về mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên thì đường vuông góc bé hơn đường xiên.

D. Sai vì từ một điểm N nằm ngoài đường thẳng u, ta có thể kẻ vô số đường xiên từ điểm N đến đường thẳng u.

Câu 2: Cho ba điểm M, N, K theo thứ tự nằm trên đường thẳng x. Trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng x tại N lấy điểm P bất kì. Khi đó ta có:

A. MP < NP

B. MP > NP

C. MP < MN

D. MP = NP

ĐÁP ÁN

Chọn đáp án B.

Ta có PN là đường vuông góc, PM là đường xiên cùng kẻ từ điểm P đến đường thẳng x nên PM > PN.

Câu 3: Cho ba điểm R, S, T theo thứ tự nằm trên đường thẳng a. Lấy điểm K bất kỳ nằm trên đường thẳng qua S vuông góc với đường thẳng a. Khi đó ta luôn có:

A. KR < KS, KT > KS

B. KR > KS, KT < KS

C. KR < KS, KT < KS

D. KR > KS, KT > KS

ĐÁP ÁN

Chọn đáp án D.

Ta có KS là đường vuông góc, KR, KT là hai đường xiên cùng kẻ từ điểm K đến đường thẳng a nên KS < KR và KS < KT hay KR > KS và KT > KS.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tam giác MNP nhọn và MA, NB, PC lần lượt là ba đường cao của tam giác (A ∈ NP, B ∈ MP, C ∈ MN).

Chứng minh rằng MA + NB + PC < MN + NP + MP.

ĐÁP ÁN

Ta có MA ⊥ NP suy ra MA < MN (Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

NB ⊥ MP suy ra NB < NP (Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

PC ⊥ MN suy ra PC < MP (Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Như vậy ta có: MA + NB + PC < MN + NP + MP.

Bài 2. Cho tam giác RST vuông tại R , RS < ST, kẻ RK ⊥ ST. Trên các cạnh ST và RS lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho TM = TR, RN = RK. Chứng minh rằng RS + RT < RK + TS.

ĐÁP ÁN

Ta có TS > TR (Quan hệ đường vuông góc và đường xiên) nên TS > TM (vì TM = TR)

Suy ra M nằm giữa T và S.

Ta có RS > RK (Quan hệ đường vuông góc và đường xiên) nên RS > RN (vì RK = RN)

Suy ra N nằm giữa R và S

Ta có TM = TR (giả thiết)

⇒ ΔRMT cân tại T.

⇒ .

Mà

(ΔRMK vuông tại K)

Suy ra .

Xét ΔRNM và ΔRKM có:

RN = RK (giả thiết)

(chứng minh trên)

RM chung

⇒ ΔRNM = ΔRKM (cạnh – góc – cạnh)

⇒ (2 góc tương ứng)

Mà (RK ⊥ ST)

⇒

⇒ MN ⊥ RS nên MS > NS (Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Ta có TM = TR, RK = RN (giả thiết)

MS > NS (chứng minh trên)

Suy ra TM + MS + RK > RT + RN + NS

Hay TS + RK > RT + RS

Vậy RS + RT < RK + TS.

Bài viết trên đã tổng hợp kiến thức và các dạng bài tập vận dụng về đường vuông góc và đường xiên – một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Hình học lớp 7. Hy vọng thông qua bài viết này các em có thể hiểu và vận dụng một cách dễ dàng trong các bài tập trên lớp và bài tập về nhà.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang