Công thức tính Tích có hướng của hai vecto trong không gian cực hay

Công thức tính Tích có hướng của hai vecto trong không gian cực hay

Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa:

Trong không gian Oxyz cho hai vecto a→=(a1;a2;a3 ) và b→=(b1;b2;b3 ). Tích có hướng của hai vecto a→ và b→ , kí hiệu là [a→ , b→ ], được xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số.

2. Tính chất

+ [a→, b→ ]⊥ a→ ; [a→ , b→ ]⊥ b→

+ [a→ , b→ ]=-[b→, a→ ]

+ [i→, j→ ]=k→ ; [ j→ , k→ ]= i→ ; [k→ , i→ ]= j→

+ |[ a→ , b→ ]|=| a→ |.| b→ |.sin⁡( a→ , b→ )

+ a→ , b→ cùng phương ⇔ [a→ , b→ ]= 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)

+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:

a→ , b→ và c→ đồng phẳng ⇔[ a→ , b→ ]. c→ =0

+ Diện tích hình bình hành ABCD:

SABCD=|[AB→ ; AD→ ]|

+ Diện tích tam giác ABC:

SABC=1/2 |[AB→ ; AC→ ]|

+ Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

VABCD.A’B’C’D’=|[AB→; AD→ ]. AA’→ |

+ Thể tích tứ diện ABCD

VABCD=1/3 |[AB→ ; AC→ ]. AD→ |

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Hướng dẫn:

AB→ =(-2;1;1); AC→ =(-2;1; -1); AD→ =(1; -1; -3)

⇒[AB→ , AC→ ]=(-2;-4;0) ⇒[ AB→ , AC→ ]. AD→ =2≠0

⇒AB→ , AC→ , AD→ không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) VABCD=1/6 |[AB→ , AC→ ]. AD→ |=2/6=1/3

Ta có: BC→ =(0;0; -2), BD→ =(3; -2; -4)

⇒[ BC→ , BD→ ]=(-4; -6;0)⇒SBCD=1/2 |[BC→ , BD→ ]|=√13

VABCD=1/3 d(A;(BCD)).SBCD

⇒d(A;(BCD))

Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh AB và CD cắt nhau.

Hướng dẫn:

+ Ta có: AB→ =(3; -5; -8); AC→ =(5; -6; -11);

AD→ =(7; -8; -15), CD→ =(2; -2; -4)

⇒[ AB→ , AC→ ]=(7;-7;7) ⇒[ AB→ ,(AC) ⃗ ].(AD) ⃗=0

⇒ AB→ , AC→ , AD→ đồng phẳng.

⇒ A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (1)

+ [AB→ , CD→ ]=(4; -4;4) ≠0→ ⇔ AB→ , CD→ không cùng phương (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.

Bài 3: : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1; 1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH)

Hướng dẫn:

+ AB→=(1;0;1), AD→=(2;0;1), AE→=(-2;1; -3)

⇒[ AB→ , AD→ ]=(0;1;0)⇒[ AB→ , AD→ ]. AE→=1

⇒VABCD.EFGH=|[ AB→ , AD→ ]. AE→ |=1

+ SAEFB=|[ AB→ , AE→ ]|=√3

⇒SDCGH=SAEFB=√3

VABCD.EFGH=d(A;(DCGH)).SDCGH

⇒d(A;(DCGH))

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:

A. (3√5)/2 B. 3√5

C. 4√5 D. 5/2

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;-1). Thể tích của tứ diện ABCD là:

A. 1 B. 2

C. 1/3 D. 1/2

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

A. √5 B. √3

C. 4√2 D. 2√5

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3). Thể tích tứ diện ABCD là:

A. 3 B. 4

C. 9 D. 6

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:

A.

B.

C.

D.

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là:

A. (2√30)/5 B. (√30)/5

C. (√10)/5 D. (√6)/2

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OAMN với S(0;0;1), A(1;1;0), M(m;0;0), N(0;n;0). Trong đó m>0, n>0 và m+n=6. Thể tích hình chóp S.OAMN là:

A. 1 B. 2

C. 4 D. 6

Bài 8: Cho A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là:

A. 5 B. 6

C. 7 D. 9

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 0; 0); B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

B. Tam giác ABD là tam giác đều.

C. AB⊥CD

D. Tam giác BCD là tam giác vuông.

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0), B(x0;y0;0) với x0>0, y0>0 sao cho OB=8 và góc AOBˆ=600 . Gọi C(0;0;c) với c>0. Để thể tích tứ diện OABC bằng 16√3 thì giá trị thích hợp của c là:

A. 6 B. 3

C. √3 D. 6√3

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng:

A. 30 B. 40

C. 50 D. 60

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) điểm D thuộc Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là:

Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0;0;2), B(3;0;5), C(1;1;0), D(4;1;2). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống (ABC) là:

A. √(11) B. √(11)/11

C. 1 D. 11

Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0; 2; -2); B(-3; 1; -1);

C(4; 3; 0), D(1; 2; m). Tìm m để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

Một học sinh giải như sau:

Bước 1: AB→=(-3;-1;1), AC→=(4;1;2), AD→= (1;0;m+2)

Bước 2: [AB→, AC→]=(-3;10;1)

[AB→ , AC→ ]. AD→= 3+m+2 = m+5

Bước 3: A, B, C, D đồng phẳng⇔[AB→, AC→]. AD→= 3+m+2 = m+5 = 0 ⇔ m= -5.

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A. Đúng. B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.

Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:

A. √(26) B. √(26)/2

C. √(26)/3 D. 26

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD biết A(-2;2;6), B(-3;1;8), C(-1;0;7), D(1;2;3). Gọi H là trung điểm của CD, SH⊥(ABCD). Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27/2(đvtt) thì có hai điểm S1, S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2

A. (0; 1; 5) B. (1; 0; 5)

C. (0; -1; -5) D. (-1; 0; -5)

Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D là:

A. 3 B. 1

C. 2 D. 1/2

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:

A. √(26) B. √(26)/2

C. √(26)/3 D. 26

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD=5 và có hai điểm D1(0;y1;0), D2(0;y2;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó y1+y2 bằng

A. 1 B. 0

C. 2 D. 3

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

• Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
• Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
• Kho trắc nghiệm các môn khác