6 Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riêng a) Phương pháp

riêng a) Phương pháp:

Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phương pháp này ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

b) Ví dụ:

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

– y)

Giải: Thử thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0 Như vậy P chứa thừa số x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x

Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x .

Vậy P có dạng: k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.

Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z –

x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn

x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta được: 4. 1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k k = -1 Vậy: P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)

( Các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác

(x – y)(y – z)(z – x) 0.Chúý:

nhauđể

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z)

Giải: Thay x = y thì P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = 0 Như vậy P chứa thừ số x – y.

Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x y

Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x .

Vậy P có dạng: k(x – y)(y – z)(z – x)

Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia P cho

Trường THCS Tề Lỗ

Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là:

P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số.

Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta được:

12.(- 1)2.(-2) + (- 1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1) -2 = 2k k = -1

Vậy: P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

Giải:

Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi.

Thay a=b vào A ta có:

A = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0 Do đó A (a – b)

Suy ra A (b – c) và A (c – a). Từ đó: A (a – b)(b – c)(c – a) Mặt khác A là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia A cho (a – b)(b – c)(c – a) thương là hằng số k, nghĩa là:

A = k(a – b)(b – c)(c – a)

Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta được 2 = -2k hay k = – 1 A = -1(a – b)(b – c)(c – a)

= (a – b)(b – c)(a – c)

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3)

Giải:

Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z thì P không thay đổi.

Thay z=y vào P ta có:

P = 0 + z(z3- x3) + z(x3 -z3) = 0 Do đó : P (y – z)

Suy ra P (z – x) và P (x – y). Từ đó : P (y – z)(z – x)(z – x) Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là: P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho: x = 2; y = 1; z = 0, ta được: 2.13 + 1.(- 2)3 + 0 = k.1.(-2) – 6 = – 2kk = 3 Vậy: P = 3(y – z)(z – x)(z – x)

Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x)

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)

Trường THCS Tề Lỗ

Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c thì M không thay đổi. Thay a = 0 vào M ta có:

M = 0 + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = 0 Do đó M a

Suy ra M b và M c. Từ đó: M abc

Mặt khác M là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia m cho abc thương là hằng số k, nghĩa là: M = k.abc

Cho a = b = c = 1, ta được:

1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 k = 4

Vậy: M = 4.abc

Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b)= 4abc

B.MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂNTỬ: TỬ: