Phương pháp Gauss để giải một hệ phương trình tuyến tính không

Cho một hệ thống tuyến tính phương trình đại số, cần phải giải (tìm các giá trị хi chưa biết để biến mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức).

Chúng ta biết rằng một hệ phương trình đại số tuyến tính có thể:

1) Không có giải pháp (được không tương thích). 2) Có vô số giải pháp. 3) Có một giải pháp duy nhất.

Như chúng ta nhớ, quy tắc của Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ thống có vô số giải pháp hoặc không nhất quán. Phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm giải pháp cho bất kỳ hệ thống nào Các phương trình tuyến tính , cái mà trong mọi trường hợp dẫn chúng tôi đến câu trả lời! Bản thân thuật toán phương pháp trong tất cả ba trường hợp hoạt động theo cùng một cách. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến ​​thức về định thức, thì để áp dụng phương pháp Gauss, chỉ cần kiến ​​thức các phép tính toán họcđiều này làm cho nó có thể truy cập được ngay cả đối với học sinh tiểu học.

Các phép biến đổi ma trận mở rộng ( đây là ma trận của hệ thống – ma trận chỉ bao gồm các hệ số của ẩn số, cộng với một cột các số hạng tự do) hệ phương trình đại số tuyến tính trong phương pháp Gauss:

1) với troky ma trận có thể sắp xếp lại nơi.

2) nếu ma trận có (hoặc có) tỷ lệ (như trương hợp đặc biệt giống nhau) chuỗi, sau đó nó theo sau xóa bỏ từ ma trận, tất cả các hàng này ngoại trừ một.

3) nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi, thì nó cũng theo sau xóa bỏ.

4) hàng của ma trận có thể nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác 0.

5) đến hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi nhân với một số, khác 0.

Trong phương pháp Gauss, các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình.

Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn:

1. “Di chuyển trực tiếp” – sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính về dạng “tam giác” bước xem: các phần tử của ma trận khai triển nằm bên dưới đường chéo chính bằng 0 (di chuyển từ trên xuống). Ví dụ, đối với loại này:

Để thực hiện việc này, hãy thực hiện các bước sau:

1) Chúng ta hãy coi phương trình thứ nhất của một hệ phương trình đại số tuyến tính và hệ số tại x 1 bằng K. Phương trình thứ hai, thứ ba, v.v. chúng ta biến đổi các phương trình như sau: chúng ta chia mỗi phương trình (hệ số cho ẩn số, kể cả các số hạng tự do) cho hệ số của x 1 chưa biết, có trong mỗi phương trình và nhân với K. Sau đó, lấy phương trình thứ nhất trừ đi thứ nhất ( hệ số cho ẩn số và số hạng tự do). Ta nhận được tại x 1 trong phương trình thứ hai hệ số 0. Từ phương trình đã biến đổi thứ ba, chúng ta trừ phương trình thứ nhất, vì vậy cho đến khi tất cả các phương trình, trừ phương trình thứ nhất, với x 1 chưa biết sẽ không có hệ số 0.

2) Chuyển sang phương trình tiếp theo. Gọi đây là phương trình thứ hai và hệ số tại x 2 bằng M. Với tất cả các phương trình “cấp dưới”, chúng ta tiến hành như mô tả ở trên. Vì vậy, “dưới” x 2 chưa biết trong tất cả các phương trình sẽ là số không.

3) Chúng ta chuyển sang phương trình tiếp theo và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi còn lại một số hạng tự do chưa biết và đã biến đổi cuối cùng.

1. « Đảo ngược»Phương pháp Gauss – thu được một giải pháp cho một hệ thống phương trình đại số tuyến tính (đi” từ dưới lên “). Từ phương trình “thấp hơn” cuối cùng, chúng ta nhận được một nghiệm đầu tiên – x n chưa biết. Đối với điều này, chúng tôi quyết định phương trình cơ bản A * x n u003d B. Trong ví dụ trên, x 3 u003d 4. Chúng tôi thay thế giá trị tìm được trong phương trình tiếp theo “trên” và giải nó cho ẩn số tiếp theo. Ví dụ: x 2 – 4 u003d 1, tức là x 2 u003d 5. Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi chúng ta tìm thấy tất cả các ẩn số.

Ví dụ.

Chúng tôi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, như một số tác giả khuyên:

Chúng tôi viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa nó về dạng bước:

Chúng ta nhìn vào “bước” phía trên bên trái. Ở đó chúng ta nên có một đơn vị. Vấn đề là không có cái nào trong cột đầu tiên cả, vì vậy không có gì có thể được giải quyết bằng cách sắp xếp lại các hàng. Trong trường hợp đó, đơn vị phải được tổ chức sử dụng biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo một số cách. Hãy làm như thế này: 1 bước . Đến dòng đầu tiên, chúng tôi thêm dòng thứ hai, nhân với -1. Tức là chúng ta nhân dòng thứ hai với -1 và thực hiện phép cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái “trừ một”, hoàn toàn phù hợp với chúng tôi. Ai muốn nhận +1 có thể thực hiện một hành động bổ sung: nhân dòng đầu tiên với -1 (thay đổi dấu hiệu của nó).

2 bước . Dòng đầu tiên nhân với 5 được cộng vào dòng thứ 2. Dòng đầu tiên nhân với 3 được cộng vào dòng thứ ba.

3 bước . Dòng đầu tiên được nhân với -1, về nguyên tắc, điều này là để làm đẹp. Dấu hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển sang vị trí thứ hai, do đó, ở bước thứ hai, chúng ta đã có đơn vị mong muốn.

4 bước . Đến dòng thứ ba, thêm dòng thứ hai, nhân với 2.

5 bước . Dòng thứ ba được chia cho 3.

Dấu hiệu cho biết lỗi trong tính toán (ít thường xuyên mắc lỗi đánh máy hơn) là điểm mấu chốt “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta nhận được một cái gì đó như (0 0 11 | 23) dưới đây, và theo đó, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, thì với một mức độ xác suất cao, chúng ta có thể nói rằng một sai lầm đã được thực hiện trong thời gian sơ cấp các phép biến hình.

Chúng tôi thực hiện chuyển động ngược lại, trong việc thiết kế các ví dụ, bản thân hệ thống thường không được viết lại, và các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi nhắc nhở bạn rằng động tác ngược lại hoạt động “từ dưới lên.” TẠI ví dụ nàyđã nhận được một món quà:

x 3 = 1 x 2 = 3 x 1 + x 2 – x 3 u003d 1, do đó x 1 + 3 – 1 u003d 1, x 1 u003d -1

Trả lời: x 1 u003d -1, x 2 u003d 3, x 3 u003d 1.

Hãy giải hệ thống tương tự bằng cách sử dụng thuật toán được đề xuất. Chúng tôi nhận được

4 2 -1 1 5 3 -2 2 3 2 -3 0

Chia phương trình thứ hai cho 5 và phương trình thứ ba cho 3. Ta được:

4 2 -1 1 1 0.6 -0.4 0.4 1 0.66 -1 0

Nhân phương trình thứ hai và thứ ba với 4, ta được:

4 2 -1 1 4 2,4 -1.6 1.6 4 2.64 -4 0

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai và thứ ba, ta có:

4 2 -1 1 0 0.4 -0.6 0.6 0 0.64 -3 -1

Chia phương trình thứ ba cho 0,64:

4 2 -1 1 0 0.4 -0.6 0.6 0 1 -4.6875 -1.5625

Nhân phương trình thứ ba với 0,4

4 2 -1 1 0 0.4 -0.6 0.6 0 0.4 -1.875 -0.625

Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ ba, chúng ta nhận được ma trận tăng cường “bậc”:

4 2 -1 1 0 0.4 -0.6 0.6 0 0 -1.275 -1.225

Do đó, do một lỗi tích lũy trong quá trình tính toán, chúng tôi nhận được x 3 u003d 0,96, hoặc xấp xỉ 1.

x 2 u003d 3 và x 1 u003d -1.

Giải theo cách này, bạn sẽ không bao giờ bị nhầm lẫn trong các phép tính và dù có sai sót khi tính toán, bạn vẫn nhận được kết quả.

Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính này dễ lập trình và không cần tính đến các tính năng cụ thể hệ số cho ẩn số, vì trong thực tế (trong tính toán kinh tế kỹ thuật) người ta phải xử lý các hệ số không nguyên.

Chúc bạn may mắn! Hẹn gặp lại các bạn trong lớp! Người giám hộ.

blog.site, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.

Trong bài viết này, phương pháp được coi là cách giải hệ phương trình tuyến tính (SLAE). Phương pháp này là phân tích, nghĩa là, nó cho phép bạn viết một thuật toán giải trong nhìn chung, và sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những hệ có vô số nghiệm. Hoặc họ không có nó ở tất cả.

Gauss có nghĩa là gì?

Đầu tiên, bạn cần viết ra hệ phương trình của chúng ta trong Nó trông như thế này. Hệ thống được thực hiện:

Các hệ số được viết dưới dạng một bảng và ở bên phải trong một cột riêng biệt – các thành viên tự do. Cột có các thành viên tự do được tách ra để thuận tiện. Ma trận bao gồm cột này được gọi là mở rộng.

Hơn nữa, ma trận chính với các hệ số phải được thu gọn thành hình tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ bằng phương pháp Gauss. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông như thế này, do đó chỉ có các số không ở phần dưới bên trái của nó:

Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng hàng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các căn, sau đó được thay vào phương trình trên, một căn khác được tìm thấy, v.v.

Mô tả này của giải pháp theo phương pháp Gauss trong hầu hết trong các điều khoản chung. Và điều gì sẽ xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có giải pháp? Hay có vô hạn trong số chúng? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng trong lời giải theo phương pháp Gauss.

Ma trận, thuộc tính của chúng

Không có ý tứ ẩn không có trong ma trận. Nó chỉ là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động sau này. Ngay cả học sinh cũng không nên sợ chúng.

Ma trận luôn luôn là hình chữ nhật, vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mà mọi thứ đi xuống để xây dựng một ma trận hình tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ với các số không ở nơi không có số. Zeros có thể được bỏ qua, nhưng chúng được ngụ ý.

Ma trận có một kích thước. “Chiều rộng” của nó là số hàng (m), “chiều dài” của nó là số cột (n). Sau đó, kích thước của ma trận A (các chữ hoa thường được dùng để biểu thị chúng) bức thư) sẽ được ký hiệu là A m × n. Nếu m = n, thì ma trận này là hình vuông, và m = n là bậc của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A có thể được ký hiệu bằng số hàng và cột của nó: a xy; x – số hàng, các thay đổi, y – số cột, các thay đổi.

B không phải là điểm chính của giải pháp. Về nguyên tắc, tất cả các phép toán có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, nhưng ký hiệu sẽ trở nên rườm rà hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều trong đó.

Bản ngã

Ma trận cũng có một định thức. Cái này rất đặc điểm quan trọng. Việc tìm ra ý nghĩa của nó bây giờ là không có giá trị, bạn có thể chỉ cần chỉ ra cách nó được tính toán, và sau đó cho biết thuộc tính nào của ma trận mà nó xác định. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử được nhân lên, và sau đó các tích kết quả được cộng: các đường chéo có độ dốc ở bên phải – với dấu “cộng”, với độ dốc ở bên trái – với dấu “trừ”.

Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho một ma trận vuông. Vì ma trận hình chữ nhật bạn có thể làm như sau: chọn giá trị nhỏ nhất trong số hàng và số cột (giả sử là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử nằm ở giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo nên một Ma trận vuông. Nếu định thức của một ma trận như vậy là một số khác 0, thì nó được gọi là cơ sở nhỏ của ma trận chữ nhật ban đầu.

Trước khi tiến hành giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, bạn không cần phải tính định thức. Nếu nó trở thành 0, thì chúng ta có thể nói ngay rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.

Phân loại hệ thống

Có một thứ như là thứ hạng của một ma trận. Đây là bậc lớn nhất của định thức khác 0 của nó (nhớ khoảng trẻ vị thành niên cơ bản, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là hạng của cơ sở nhỏ).

Theo cách mọi thứ diễn ra với thứ hạng, SLAE có thể được chia thành:

• Chung. Tại của hệ thống liên kết, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (với một cột các số hạng tự do). Những hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một giải pháp, vì vậy ngoài hệ thống chungđược chia thành:
• – chắc chắn– có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, hạng của ma trận và số ẩn số (hoặc số cột, là cùng một thứ) bằng nhau;
• – vô thời hạn – với vô số nghiệm. Thứ hạng của ma trận cho các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
• Không tương thích. Tại hệ như vậy, bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng không trùng nhau. Hệ thống không tương thích không có giải pháp.

Phương pháp Gauss tốt ở chỗ nó cho phép người ta có được một bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (mà không tính toán các yếu tố quyết định của ma trận lớn) hoặc một nghiệm tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm trong quá trình giải.

Các phép biến đổi cơ bản

Trước khi tiến hành trực tiếp đến lời giải của hệ thống, có thể làm cho nó bớt rườm rà và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua các phép biến đổi cơ bản – sao cho việc triển khai chúng không thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản ở trên chỉ hợp lệ cho ma trận, nguồn của nó chính xác là SLAE. Dưới đây là danh sách các phép biến đổi này:

1. Hoán vị chuỗi. Rõ ràng là nếu chúng ta thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, thì điều này sẽ không ảnh hưởng đến lời giải theo bất kỳ cách nào. Do đó, cũng có thể hoán đổi các hàng trong ma trận của hệ thống này, tất nhiên là không quên về cột các thành viên tự do.
2. Nhân tất cả các phần tử của một chuỗi với một số thừa số. Rất hữu ích! Nó có thể được sử dụng để rút ngắn những con số lớn trong ma trận hoặc loại bỏ các số không. Như thường lệ, tập hợp các giải pháp sẽ không thay đổi và sẽ trở nên thuận tiện hơn khi thực hiện các thao tác tiếp theo. Điều chính là hệ số không bằng không.
3. Xóa các hàng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân / chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc nhiều hơn) hàng hoàn toàn giống hệt nhau và bạn có thể loại bỏ các hàng thừa, chỉ để lại một.
4. Xóa dòng rỗng. Nếu trong quá trình biến đổi, một chuỗi thu được ở đâu đó mà tất cả các phần tử, kể cả phần tử tự do, đều bằng 0, thì một chuỗi như vậy có thể được gọi là không và bị loại ra khỏi ma trận.
5. Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (trong các cột tương ứng), nhân với một hệ số nhất định. Sự biến đổi khó hiểu nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó là giá trị tìm hiểu chi tiết hơn về nó.

Thêm một chuỗi nhân với một hệ số

Để dễ hiểu, bạn nên tháo rời quy trình này từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:

a 11 a 12 … a 1n | b1

a 21 a 22 … a 2n | b 2

Giả sử bạn cần cộng số thứ nhất với số thứ hai, nhân với hệ số “-2”.

a “21 u003d a 21 + -2 × a 11

a “22 u003d a 22 + -2 × a 12

a “2n u003d a 2n + -2 × a 1n

Sau đó, trong ma trận, hàng thứ hai được thay thế bằng hàng mới và hàng đầu tiên không thay đổi.

a 11 a 12 … a 1n | b1

a “21 a” 22 … a “2n | b 2

Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách mà kết quả của phép cộng hai chuỗi, một trong các phần tử của chuỗi mới bằng không. Do đó, có thể thu được một phương trình trong hệ, trong đó sẽ có một ẩn số ít hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì phép toán có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình đã chứa ít ẩn số hơn. Và nếu mỗi lần chúng ta chuyển về 0 một hệ số cho tất cả các hàng thấp hơn hàng ban đầu, thì chúng ta có thể, giống như các bước, đi xuống dưới cùng của ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Đây được gọi là giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.

Nói chung

Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó ra như sau:

Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột gồm các thành viên tự do được thêm vào ma trận mở rộng và ngăn cách bằng một thanh để thuận tiện.

• hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k = (-a 21 / a 11);
• hàng sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
• thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
• bây giờ là hệ số đầu tiên trong giây mới dòng là 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Bây giờ cùng một loạt các phép biến đổi được thực hiện, chỉ có hàng đầu tiên và hàng thứ ba là có liên quan. Theo đó, trong mỗi bước của thuật toán, phần tử 21 được thay thế bằng 31. Sau đó, mọi thứ được lặp lại với 41, … a m1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng bằng không. Bây giờ chúng ta cần quên dòng số một và thực hiện thuật toán tương tự bắt đầu từ dòng thứ hai:

• hệ số k u003d (-a 32 / a 22);
• dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng “hiện tại”;
• kết quả của phép cộng được thay thế ở dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và thứ hai không thay đổi;
• trong các hàng của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng 0.

Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi xuất hiện hệ số k = (-a m, m-1 / a mm). Điều này có nghĩa là lần cuối cùng thuật toán được thực thi chỉ dành cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có hình dạng bậc thang. Dòng dưới cùng chứa đẳng thức a mn × x n = b m. Hệ số và số hạng tự do đã biết, và căn được biểu thị qua chúng: x n = b m / a mn. Gốc kết quả được thay vào hàng trên cùng để tìm x n-1 = (b m-1 – a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. Và tương tự như vậy: mỗi dòng tiếp theo chứa gốc mới, và, khi đã đạt đến “đỉnh” của hệ thống, người ta có thể tìm thấy nhiều giải pháp. Nó sẽ là một trong những duy nhất.

Khi không có giải pháp

Nếu ở một trong những hàng ma trận tất cả các phần tử, ngoại trừ số hạng tự do, đều bằng 0, khi đó phương trình tương ứng với dòng này có dạng 0 = b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ, thì tập nghiệm của toàn bộ hệ là rỗng, tức là nó suy biến.

Khi có vô số nghiệm

Nó có thể bật ra rằng trong ma trận tam giác không có hàng nào có một hệ số phần tử của phương trình và một – một phần tử tự do. Chỉ có những chuỗi, khi được viết lại, sẽ trông giống như một phương trình có hai hoặc nhiều biến. Điều này có nghĩa là hệ thống có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm nó?

Tất cả các biến trong ma trận được chia thành cơ bản và tự do. Những cái cơ bản là những cái đứng “ngoài rìa” của các dòng trong ma trận bước. Phần còn lại là miễn phí. Trong giải pháp chung, các biến cơ bản được viết dưới dạng các biến miễn phí.

Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành một hệ phương trình. Sau đó, trong biến cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên, và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mỗi phương trình với một biến cơ bản. Sau đó, trong phần còn lại của phương trình, nếu có thể, thay vì biến cơ bản, biểu thức thu được cho nó được thay thế. Kết quả là nếu một biểu thức lại xuất hiện chỉ chứa một biến cơ bản, thì biểu thức đó lại được biểu diễn từ đó, và cứ tiếp tục như vậy, cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng một biểu thức với các biến tự do. Đó là những gì nó là quyết định chung SLAU.

Bạn cũng có thể tìm thấy giải pháp cơ bản của hệ thống – cung cấp cho các biến tự do bất kỳ giá trị nào, sau đó đối với trường hợp cụ thể này tính giá trị của các biến cơ bản. Có vô số giải pháp cụ thể.

Giải pháp với các ví dụ cụ thể

Đây là hệ phương trình.

Để thuận tiện, tốt hơn là tạo ngay ma trận của nó

Được biết, khi giải theo phương pháp Gauss, phương trình ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận là nhỏ nhất – khi đó các phần tử đầu tiên của các hàng còn lại sau các phép toán sẽ chuyển về không. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ có lợi khi đặt hàng thứ hai vào vị trí của hàng đầu tiên.

dòng thứ hai: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a “21 u003d a 21 + k × a 11 u003d 3 + (-3) × 1 u003d 0

a “22 u003d a 22 + k × a 12 u003d -1 + (-3) × 2 u003d -7

a “23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b “2 u003d b 2 + k × b 1 u003d 12 + (-3) × 12 u003d -24

dòng thứ ba: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a “3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a “3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a “3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b “3 u003d b 3 + k × b 1 u003d 3 + (-5) × 12 u003d -57

Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, cần phải viết ra ma trận với kết quả trung gian các phép biến hình.

Rõ ràng là một ma trận như vậy có thể được tạo ra thuận tiện hơn cho việc nhận thức với sự trợ giúp của một số phép toán. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả các “minuses” khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với “-1”.

Cũng cần lưu ý rằng trong hàng thứ ba tất cả các phần tử là bội số của ba. Sau đó, bạn có thể rút ngắn chuỗi bằng số này, nhân từng phần tử với “-1/3” (trừ – đồng thời, để loại bỏ giá trị âm).

Trông đẹp hơn nhiều. Bây giờ chúng ta cần để lại một mình dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là thêm hàng thứ hai vào hàng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a 32 trở thành bằng không.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 phần chung và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, hãy quyết định xem có nên làm tròn và chuyển sang dạng hồ sơ khác hay không)

a “32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a “33 u003d a 33 + k × a 23 u003d 6 + (-3/7) × 11 u003d -9/7

b “3 u003d b 3 + k × b 2 u003d 19 + (-3/7) × 24 u003d -61/7

Ma trận được viết lại với các giá trị mới.

1 2 4 12 0 7 11 24 0 0 -9/7 -61/7

Như bạn có thể thấy, ma trận kết quả đã có dạng bậc. Do đó, không cần thực hiện các phép biến đổi tiếp theo của hệ thống theo phương pháp Gauss. Điều có thể làm ở đây là xóa khỏi dòng thứ ba hệ số tổng thể “-1/7”.

Bây giờ mọi thứ đều đẹp. Điểm nhỏ – viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính nghiệm nguyên

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Thuật toán mà bây giờ sẽ tìm thấy các gốc được gọi là di chuyển ngược lại trong phương pháp Gauss. Phương trình (3) chứa giá trị của z:

y = (24 – 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

Và phương trình đầu tiên cho phép bạn tìm x:

x = (12 – 4z – 2y) / 1 = 12 – 4x (61/9) – 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Chúng ta có quyền gọi như vậy là một liên kết hệ thống, và thậm chí xác định, nghĩa là có một giải pháp duy nhất. Phản hồi được viết dưới dạng sau:

x 1 u003d -2/3, y u003d -65/9, z u003d 61/9.

Ví dụ về hệ thống vô thời hạn

Sự hòa tan hệ thống nhất địnhđã được phân tích bằng phương pháp Gauss, bây giờ cần xét trường hợp nếu hệ là vô định, tức là có thể tìm được vô số nghiệm cho nó.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 – 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 – x 5 = 12 (4)

Sự xuất hiện của hệ thống đã đáng báo động, bởi vì số ẩn số là n = 5, và hạng của ma trận của hệ thống đã chính xác nhỏ hơn số này, bởi vì số hàng là m = 4, tức là đơn hàng lớn nhấtđịnh thức bình phương – 4. Do đó, các giải pháp tồn tại tập hợp vô hạn, và cần phải tìm dạng tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính có thể thực hiện điều này.

Đầu tiên, như thường lệ, ma trận tăng cường được biên dịch.

Dòng thứ hai: hệ số k = (-a 21 / a 11) = -3. Trong dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến hình, vì vậy bạn không cần phải chạm vào bất cứ thứ gì, bạn cần để nguyên như vậy. Dòng thứ tư: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

Lần lượt nhân các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng mong muốn, ta được ma trận loại sau:

Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư nói chung giống nhau, vì vậy có thể loại bỏ một trong số chúng ngay lập tức, và phần còn lại nhân với hệ số “-1” và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, hãy để lại một trong hai dòng giống nhau.

Hóa ra một ma trận như vậy. Hệ thống vẫn chưa được viết ra, ở đây cần xác định các biến cơ bản – đứng ở các hệ số a 11 u003d 1 và a 22 u003d 1, và miễn phí – tất cả phần còn lại.

Phương trình thứ hai chỉ có một biến cơ bản – x 2. Do đó, nó có thể được biểu diễn từ đó, viết thông qua các biến x 3, x 4, x 5, là các biến miễn phí.

Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.

Nó chỉ ra một phương trình trong đó biến cơ bản duy nhất là x 1. Hãy làm tương tự với nó như với x 2.

Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai, được biểu thị dưới dạng ba biến tự do, bây giờ bạn có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát.

Bạn cũng có thể chỉ định một trong các giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, theo quy tắc, các số không được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Thì câu trả lời sẽ là:

16, 23, 0, 0, 0.

Ví dụ về hệ thống không tương thích

Giải hệ phương trình không nhất quán bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là giai đoạn có tính rễ khá dài và thê lương biến mất. Hệ thống sau được coi là:

x + y – z = 0 (1)

2x – y – z = -2 (2)

4x + y – 3z = 5 (3)

Như thường lệ, ma trận được biên dịch:

1 1 -1 0 2 -1 -1 -2 4 1 -3 5

Và nó được rút gọn thành dạng bước:

k 1 u003d -2k 2 u003d -4

1 1 -1 0 0 -3 1 -2 0 0 0 7

Sau phép biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa một phương trình có dạng

không có giải pháp. Do đó, hệ thống không nhất quán, và câu trả lời là tập hợp trống.

Ưu nhược điểm của phương pháp

Nếu bạn chọn phương pháp nào để giải SLAE trên giấy bằng bút, thì phương pháp được xem xét trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Trong các phép biến đổi cơ bản, sẽ khó nhầm lẫn hơn nhiều so với việc bạn phải tự tìm kiếm định thức hoặc một số ma trận nghịch đảo khó. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với dữ liệu thuộc loại này, ví dụ: bảng tính, hóa ra là các chương trình như vậy đã chứa các thuật toán để tính toán các tham số chính của ma trận – định thức, phần tử, nghịch đảo, v.v. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc sai lầm, thì tốt hơn là sử dụng phương pháp ma trận hoặc công thức của Cramer, bởi vì ứng dụng của chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính toán các yếu tố quyết định và ma trận nghịch đảo.

Ứng dụng

Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và trên thực tế, ma trận là một mảng hai chiều, nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự định vị mình như một hướng dẫn “cho hình nộm”, nên phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để đưa phương pháp vào là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và đối với các phép toán với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể thêm các ma trận có cùng kích thước!), Phép nhân với một số, phép nhân ma trận (cũng có một số hạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và chuyển vị và quan trọng nhất là , tính định thức. Nếu tác vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì việc xác định thứ hạng của ma trận và do đó sẽ nhanh hơn nhiều để thiết lập tính tương thích hoặc không nhất quán của nó.

Kể từ đầu thế kỷ 16-18, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu chuyên sâu về các hàm, nhờ đó mà cuộc sống của chúng ta đã thay đổi rất nhiều. Công nghệ máy tính nếu không có kiến ​​thức này sẽ đơn giản là không tồn tại. Đối với các giải pháp nhiệm vụ đầy thử thách, các phương trình tuyến tính và các hàm đã được tạo ra các khái niệm khác nhau, định lý và phương pháp giải. Một trong những phương pháp và kỹ thuật phổ biến và hợp lý để giải các phương trình tuyến tính và hệ thống của chúng là phương pháp Gauss. Ma trận, thứ hạng của chúng, yếu tố quyết định – mọi thứ đều có thể được tính toán mà không cần sử dụng các phép toán phức tạp.

SLAU là gì

Trong toán học, có khái niệm SLAE – một hệ phương trình đại số tuyến tính. Cô ấy đại diện cho cái gì? Đây là một tập hợp m phương trình với n ẩn số bắt buộc, thường được ký hiệu là x, y, z, hoặc x 1, x 2 … x n, hoặc các ký hiệu khác. Giải bằng phương pháp Gauss hệ thống này- nghĩa là tìm tất cả các ẩn số được yêu cầu. Nếu hệ thống có Cùng một sốẩn số và phương trình thì nó được gọi là hệ bậc n.

Các phương pháp phổ biến nhất để giải SLAE

TẠI cơ sở giáo dục giáo dục trung học đang nghiên cứu các kỹ thuật khác nhau để giải quyết các hệ thống như vậy. Thường thì cái này phương trình đơn giản, bao gồm hai ẩn số, vì vậy bất kỳ phương pháp hiện có sẽ không mất nhiều thời gian để tìm ra câu trả lời cho chúng. Nó có thể giống như một phương pháp thay thế, khi một phương trình khác được suy ra từ một phương trình và được thay thế vào phương trình ban đầu. Hoặc thuật ngữ bằng phép trừ và cộng số hạng. Nhưng phương pháp Gauss được coi là dễ nhất và phổ biến nhất. Nó giúp bạn có thể giải các phương trình với bất kỳ số ẩn số nào. Tại sao kỹ thuật này được coi là hợp lý? Mọi thứ đều đơn giản. Phương pháp ma trậnđiều tốt là ở đây không phải viết lại nhiều lần các ký tự không cần thiết dưới dạng ẩn số, chỉ cần thực hiện các phép tính số học trên các hệ số là đủ – và bạn sẽ nhận được một kết quả đáng tin cậy.

SLAE được sử dụng trong thực tế ở đâu?

Nghiệm của SLAE là các giao điểm của các đường trên đồ thị của hàm số. Trong thời đại máy tính công nghệ cao của chúng ta, những người liên quan chặt chẽ đến việc phát triển trò chơi và các chương trình khác cần biết cách giải quyết các hệ thống như vậy, chúng đại diện cho cái gì và cách kiểm tra tính đúng đắn của kết quả thu được. Thông thường, các lập trình viên phát triển các máy tính đại số tuyến tính đặc biệt, bao gồm một hệ thống các phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss cho phép bạn tính toán tất cả các giải pháp hiện có. Các công thức và kỹ thuật đơn giản khác cũng được sử dụng.

Tiêu chí tương thích SLAE

Hệ thống như vậy chỉ có thể được giải quyết nếu nó tương thích. Để rõ ràng, chúng tôi trình bày SLAE dưới dạng Ax = b. Nó có một nghiệm nếu rang (A) bằng rang (A, b). Trong trường hợp này, (A, b) là một ma trận dạng mở rộng có thể nhận được từ ma trận A bằng cách viết lại nó với các số hạng tự do. Nó chỉ ra rằng giải các phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng phương pháp Gaussian là khá dễ dàng.

Có lẽ một số ký hiệu không hoàn toàn rõ ràng, vì vậy cần phải xem xét mọi thứ với một ví dụ. Giả sử có hệ: x + y = 1; 2x-3y = 6. Nó chỉ bao gồm hai phương trình trong đó có 2 ẩn số. Hệ thống sẽ chỉ có một giải pháp nếu hạng của ma trận của nó bằng hạng của ma trận tăng cường. Thứ hạng là gì? Đây là số dòng độc lập của hệ thống. Trong trường hợp của chúng ta, hạng của ma trận là 2. Ma trận A sẽ bao gồm các hệ số nằm gần các ẩn số và các hệ số phía sau dấu “=” cũng sẽ phù hợp với ma trận mở rộng.

Tại sao SLAE có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận

Dựa trên tiêu chí tương thích theo định lý Kronecker-Capelli đã được chứng minh, hệ phương trình đại số tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận. Sử dụng phương pháp thác Gaussian, bạn có thể giải ma trận và nhận được câu trả lời đáng tin cậy duy nhất cho toàn bộ hệ thống. Nếu hạng của một ma trận thông thường bằng hạng của ma trận mở rộng của nó, nhưng nhỏ hơn số ẩn số, thì hệ thống có vô số câu trả lời.

Phép biến đổi ma trận

Trước khi chuyển sang giải các ma trận, cần biết những thao tác nào có thể thực hiện trên các phần tử của chúng. Có một số phép biến đổi cơ bản:

• Viết lại hệ thống thành chế độ xem ma trận và nhận ra nghiệm của nó, có thể nhân tất cả các phần tử của dãy với cùng một hệ số.
• Để chuyển đổi ma trận sang dạng chính tắc, hai hàng song song có thể được hoán đổi. Dạng chính tắc ngụ ý rằng tất cả các phần tử của ma trận nằm dọc theo đường chéo chính sẽ trở thành các phần tử và các phần tử còn lại trở thành số không.
• Các phần tử tương ứng của các hàng song song của ma trận có thể được thêm vào một phần tử khác.

Phương pháp Jordan-Gauss

Bản chất của việc giải hệ thống thuần nhất tuyến tính và phương trình không đồng nhất Phương pháp Gaussian là loại bỏ dần các ẩn số. Giả sử chúng ta có một hệ hai phương trình trong đó có hai ẩn số. Để tìm chúng, bạn cần kiểm tra tính tương thích của hệ thống. Phương trình Gaussian được giải rất đơn giản. Cần phải viết ra các hệ số nằm gần mỗi ẩn số dưới dạng ma trận. Để giải hệ thống, bạn cần viết ra ma trận tăng cường. Nếu một trong các phương trình chứa một số ẩn số nhỏ hơn, thì “0” phải được đặt vào vị trí của phần tử bị thiếu. Tất cả các phương pháp biến đổi đã biết đều được áp dụng cho ma trận: nhân, chia cho một số, thêm các phần tử tương ứng của các hàng với nhau và các phần tử khác. Nó chỉ ra rằng trong mỗi hàng, cần phải để lại một biến có giá trị “1”, phần còn lại dẫn đến không tâm trí. Để hiểu chính xác hơn, cần phải xem xét phương pháp Gauss với các ví dụ.

Một ví dụ đơn giản về giải hệ 2×2

Để bắt đầu, chúng ta hãy lấy một hệ phương trình đại số đơn giản, trong đó sẽ có 2 ẩn số.

Hãy viết lại nó trong một ma trận tăng cường.

Để giải hệ phương trình tuyến tính này, chỉ cần hai phép toán. Chúng ta cần đưa ma trận về dạng chính tắc để có các đơn vị dọc theo đường chéo chính. Vậy, chuyển từ dạng ma trận về hệ ta được phương trình: 1x + 0y = b1 và 0x + 1y = b2, trong đó b1 và b2 là các đáp số thu được trong quá trình giải.

1. Bước đầu tiên trong việc giải ma trận tăng cường sẽ như sau: hàng đầu tiên phải được nhân với -7 và các phần tử tương ứng được thêm vào hàng thứ hai, để loại bỏ một ẩn số trong phương trình thứ hai.
2. Vì việc giải phương trình bằng phương pháp Gauss ngụ ý đưa ma trận về dạng chính tắc nên cần thực hiện các phép toán tương tự với phương trình thứ nhất và loại bỏ biến thứ hai. Để làm điều này, chúng tôi trừ dòng thứ hai cho dòng đầu tiên và nhận được câu trả lời cần thiết – giải pháp của SLAE. Hoặc, như trong hình, chúng ta nhân hàng thứ hai với hệ số -1 và cộng các phần tử của hàng thứ hai với hàng đầu tiên. Điều này cũng vậy.

Như bạn thấy, hệ thống của chúng tôi được giải bằng phương pháp Jordan-Gauss. Ta viết lại nó dưới dạng yêu cầu: x = -5, y = 7.

Một ví dụ về giải SLAE 3×3

Giả sử chúng ta có một hệ phương trình tuyến tính phức tạp hơn. Phương pháp Gauss giúp bạn có thể tính được câu trả lời ngay cả đối với hệ thống có vẻ khó hiểu nhất. Do đó, để nghiên cứu sâu hơn về phương pháp tính toán, bạn có thể chuyển sang phần ví dụ phức tạp với ba ẩn số.

Như trong ví dụ trước, chúng ta viết lại hệ thống dưới dạng một ma trận mở rộng và bắt đầu đưa nó về dạng chính tắc.

Để giải quyết hệ thống này, bạn sẽ cần thực hiện nhiều hành động hơn trong ví dụ trước.

1. Trước tiên, bạn cần tạo trong cột đầu tiên một phần tử duy nhất và các số không còn lại. Để làm điều này, hãy nhân phương trình đầu tiên với -1 và cộng phương trình thứ hai với nó. Điều quan trọng cần nhớ là chúng ta viết lại dòng đầu tiên ở dạng ban đầu và dòng thứ hai – đã ở dạng sửa đổi.
2. Tiếp theo, chúng ta loại bỏ cùng một ẩn số đầu tiên khỏi phương trình thứ ba. Để làm điều này, chúng tôi nhân các phần tử của hàng đầu tiên với -2 và thêm chúng vào hàng thứ ba. Bây giờ dòng đầu tiên và dòng thứ hai được viết lại ở dạng ban đầu, và dòng thứ ba – đã có những thay đổi. Như bạn có thể thấy từ kết quả, chúng tôi có một đầu tiên ở đầu đường chéo chính của ma trận và phần còn lại là số không. Thêm một vài thao tác nữa, hệ phương trình bằng phương pháp Gauss sẽ được giải một cách đáng tin cậy.
3. Bây giờ bạn cần thực hiện các thao tác trên các phần tử khác của các hàng. Bước thứ ba và thứ tư có thể được kết hợp thành một. Chúng ta cần chia dòng thứ hai và thứ ba cho -1 để loại bỏ những dòng âm trên đường chéo. Chúng tôi đã đưa dòng thứ ba đến biểu mẫu yêu cầu.
4. Tiếp theo, chúng tôi chuẩn hóa dòng thứ hai. Để làm điều này, chúng tôi nhân các phần tử của hàng thứ ba với -3 và thêm chúng vào dòng thứ hai của ma trận. Có thể thấy từ kết quả là dòng thứ hai cũng được giảm xuống dạng chúng ta cần. Nó vẫn còn để thực hiện thêm một số hoạt động và loại bỏ các hệ số của ẩn số khỏi hàng đầu tiên.
5. Để tạo ra 0 từ phần tử thứ hai của hàng, bạn cần nhân hàng thứ ba với -3 và cộng nó vào hàng đầu tiên.
6. Bước quyết định tiếp theo là thêm các yếu tố cần thiết của hàng thứ hai vào hàng đầu tiên. Vì vậy, chúng tôi nhận được dạng chính tắc của ma trận, và theo đó, câu trả lời.

Như bạn thấy, giải phương trình bằng phương pháp Gauss khá đơn giản.

Một ví dụ về giải hệ phương trình 4×4

Một số nữa hệ thống phức tạp phương trình có thể được giải bằng phương pháp Gaussian bằng chương trình máy tính. Cần phải chuyển các hệ số cho ẩn số vào các ô trống hiện có, và chương trình sẽ tính toán kết quả cần thiết theo từng bước, mô tả chi tiết từng hành động.

Được mô tả dưới đây hướng dẫn từng bước giải pháp cho ví dụ này.

Trong bước đầu tiên, các hệ số và số tự do cho ẩn số được nhập vào các ô trống. Do đó, chúng tôi có được ma trận tăng cường giống như chúng tôi viết bằng tay.

Và tất cả các phép toán số học cần thiết được thực hiện để đưa ma trận mở rộng về dạng chính tắc. Cần phải hiểu rằng câu trả lời cho một hệ phương trình không phải lúc nào cũng là số nguyên. Đôi khi giải pháp có thể là từ các số phân số.

Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp

Phương pháp Jordan-Gauss cung cấp để kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Để biết các hệ số đã được tính đúng chưa, bạn chỉ cần thay kết quả vào hệ phương trình ban đầu. Phía tay trái của phương trình phải khớp với vế phải, vế sau dấu bằng. Nếu các câu trả lời không khớp, thì bạn cần phải tính toán lại hệ thống hoặc cố gắng áp dụng một phương pháp giải SLAE khác mà bạn đã biết, chẳng hạn như phép thay thế hoặc phép trừ và cộng theo số hạng. Rốt cuộc, toán học là một môn khoa học có số lượng lớn các kỹ thuật khác nhau các giải pháp. Nhưng hãy nhớ: kết quả phải luôn giống nhau, cho dù bạn đã sử dụng phương pháp giải nào.

Phương pháp Gauss: các lỗi phổ biến nhất khi giải SLAE

Trong quá trình giải hệ phương trình tuyến tính, hầu hết các lỗi thường xảy ra, chẳng hạn như chuyển sai hệ số về dạng ma trận. Có những hệ thống mà trong đó một số ẩn số bị thiếu trong một trong các phương trình, khi đó, chuyển dữ liệu sang ma trận mở rộng, chúng có thể bị mất. Kết quả là khi giải hệ này, kết quả có thể không tương ứng với kết quả thực.

Một trong những sai lầm chính khác có thể là viết sai kết quả cuối cùng. Cần phải hiểu rõ rằng hệ số đầu tiên sẽ tương ứng với ẩn số đầu tiên từ hệ thống, hệ số thứ hai – đến hệ số thứ hai, v.v.

Phương pháp Gauss mô tả chi tiết nghiệm của phương trình tuyến tính. Nhờ anh ta, có thể dễ dàng thực hiện các thao tác cần thiết và tìm ra kết quả phù hợp. Ngoài ra, điều này phương thuốc phổ quátđể tìm kiếm một câu trả lời đáng tin cậy cho các phương trình có độ phức tạp bất kỳ. Có lẽ đó là lý do tại sao nó rất thường được sử dụng trong việc giải quyết SLAE.

1. Hệ phương trình đại số tuyến tính

1.1 Khái niệm về một hệ phương trình đại số tuyến tính

Hệ phương trình là một điều kiện bao gồm việc thực hiện đồng thời một số phương trình với một số biến số. Hệ phương trình đại số tuyến tính (sau đây viết tắt là SLAE) chứa m phương trình và n ẩn số là hệ có dạng:

trong đó các số a ij được gọi là hệ số của hệ thống, các số b i là các thành viên tự do, aij và b tôi(i = 1,…, m; b = 1,…, n) là một số những con số đã biết, và x 1,…, x n– không xác định. Trong ký hiệu của các hệ số aij chỉ số thứ nhất i biểu thị số của phương trình và chỉ số thứ hai j là số ẩn mà tại đó hệ số này là viết tắt của. Chủ đề tìm số x n. Thật tiện lợi khi viết một hệ thống như vậy dưới dạng ma trận nhỏ gọn: AX = B.Ở đây A là ma trận các hệ số của hệ, gọi là ma trận chính;

là một vectơ cột của xj chưa biết. là một vector cột của các thành viên tự do bi.

Tích của ma trận A * X được xác định, vì có bao nhiêu cột trong ma trận A cũng như số hàng trong ma trận X (n phần).

Ma trận mở rộng của hệ thống là ma trận A của hệ thống, được bổ sung bởi một cột các phần tử tự do

1.2 Lời giải của một hệ phương trình đại số tuyến tính

Nghiệm của hệ phương trình là một tập hợp các số (giá trị của biến) có thứ tự, khi thay chúng vào thay cho biến thì mỗi phương trình của hệ đều biến thành một đẳng thức thực sự.

Nghiệm của hệ là n giá trị của các ẩn số x1 = c1, x2 = c2,…, xn = cn, thay vào đó mọi phương trình của hệ đều biến thành các ẩn số. Bất kỳ giải pháp nào của hệ thống đều có thể được viết dưới dạng cột ma trận

Một hệ phương trình được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một nghiệm và không nhất quán nếu nó không có nghiệm.

Một hệ thống chung được gọi là xác định nếu nó có một giải pháp duy nhất và vô thời hạn nếu nó có nhiều hơn một giải pháp. TẠI trường hợp cuối cùng mỗi giải pháp của nó được gọi là một giải pháp cụ thể của hệ thống. Tập hợp tất cả các nghiệm cụ thể được gọi là giải pháp chung.

Để giải quyết một hệ thống có nghĩa là tìm hiểu xem nó nhất quán hay không nhất quán. Nếu hệ thống tương thích, hãy tìm giải pháp chung của nó.

Hai hệ thức được gọi là tương đương (tương đương) nếu chúng có cùng một nghiệm tổng quát. Nói cách khác, các hệ thống là tương đương nếu mọi giải pháp cho một trong số chúng là giải pháp cho hệ kia, và ngược lại.

Một sự chuyển đổi, ứng dụng biến hệ thống thành hệ thống mới, tương đương với cái ban đầu, được gọi là một phép biến đổi tương đương hoặc tương đương. Các ví dụ phép biến đổi tương đương các phép biến đổi sau có thể phục vụ: hoán đổi hai phương trình của hệ, hoán đổi hai ẩn số cùng với hệ số của tất cả các phương trình, nhân cả hai phần của bất kỳ phương trình nào của hệ với một số khác không.

Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả các số hạng tự do đều bằng 0:

Một hệ thuần nhất luôn luôn nhất quán, vì x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 là một nghiệm của hệ. Giải pháp này được gọi là null hoặc trivial.

2. Phương pháp khử Gaussian

2.1 Bản chất của phương pháp khử Gaussian

Phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình đại số tuyến tính là phương pháp loại trừ tuần tự không xác định – Phương pháp Gauss(Nó còn được gọi là phương pháp khử Gauss). Đây là một phương pháp loại bỏ liên tiếp các biến, khi, với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ phương trình được rút gọn thành hệ thống tương đương dạng bước (hoặc hình tam giác), từ đó tất cả các biến khác được tìm thấy tuần tự, bắt đầu với các biến cuối cùng (theo số).

Quá trình giải Gauss bao gồm hai giai đoạn: tiến và lùi.

1. Di chuyển trực tiếp.

Ở giai đoạn đầu, cái gọi là chuyển động trực tiếp được thực hiện, khi, bằng các phép biến đổi cơ bản qua các hàng, hệ thống được đưa về dạng bậc hoặc dạng tam giác, hoặc hệ thống không nhất quán. Cụ thể, trong số các phần tử của cột đầu tiên của ma trận, một phần tử khác không được chọn, nó được di chuyển lên vị trí trên cùng bằng cách hoán vị các hàng và hàng đầu tiên thu được sau khi hoán vị được trừ cho các hàng còn lại, nhân nó. bởi một giá trị bằng tỷ lệ của phần tử đầu tiên của mỗi hàng này với phần tử đầu tiên của hàng đầu tiên, do đó làm bằng không cột bên dưới nó.

Sau khi thực hiện các phép biến đổi được chỉ định, hàng đầu tiên và cột đầu tiên được gạch bỏ và tiếp tục cho đến khi còn lại ma trận kích thước bằng không. Nếu tại một số lần lặp giữa các phần tử của cột đầu tiên không tìm thấy phần tử khác 0, thì hãy chuyển đến cột tiếp theo và thực hiện thao tác tương tự.

Ở giai đoạn đầu tiên (chạy về phía trước), hệ thống được giảm xuống dạng bước (cụ thể là hình tam giác).

Hệ thống dưới đây là từng bước:

,

Các hệ số aii được gọi là phần tử chính (hàng đầu) của hệ thống.

(nếu a11 = 0, hãy sắp xếp lại các hàng của ma trận để một 11 không bằng 0. Điều này luôn luôn có thể xảy ra, bởi vì nếu không thì ma trận chứa cột 0, định thức của nó bằng 0 và hệ thống không nhất quán).

Chúng ta biến đổi hệ bằng cách loại bỏ x1 chưa biết trong tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên (sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hệ). Để làm điều này, hãy nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với

và cộng số hạng theo số hạng với phương trình thứ hai của hệ (hoặc từ phương trình thứ hai chúng ta trừ số hạng theo số hạng thứ nhất nhân với). Sau đó, chúng ta nhân cả hai phần của phương trình thứ nhất với và cộng nó vào phương trình thứ ba của hệ (hoặc trừ phần thứ nhất nhân với số hạng thứ ba với số hạng). Do đó, chúng ta liên tiếp nhân hàng đầu tiên với một số và thêm vào tôi-dòng thứ, cho tôi = 2, 3, …,N.

Tiếp tục quá trình này, chúng tôi nhận được hệ thống tương đương:

– giá trị mới của hệ số cho ẩn số và số hạng tự do trong m-1 phương trình cuối cùng của hệ, được xác định bằng công thức:

Do đó, ở bước đầu tiên, tất cả các hệ số dưới phần tử đứng đầu đầu tiên a 11 đều bị hủy.

0, bước thứ hai hủy các phần tử dưới phần tử đứng đầu thứ hai a 22 (1) (nếu a 22 (1) 0), v.v. Tiếp tục quá trình này thêm nữa, cuối cùng chúng ta sẽ rút gọn hệ ban đầu thành một hệ tam giác ở bước (m-1).

Nếu, trong quá trình giảm hệ thống về dạng từng bước, không xuất hiện phương trình nào, tức là các bằng nhau có dạng 0 = 0, chúng bị loại bỏ. Nếu có một phương trình dạng

Điều này cho thấy sự không tương thích của hệ thống.

Điều này hoàn thành quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss.

2. Đảo chiều chuyển động.

Ở giai đoạn thứ hai, cái gọi là chuyển động ngược được thực hiện, bản chất của nó là thể hiện tất cả các biến cơ bản kết quả dưới dạng các biến không cơ bản và cấu trúc hệ thống cơ bản nghiệm, hoặc, nếu tất cả các biến là cơ bản, thì biểu diễn ở dạng số là nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính.

Quy trình này bắt đầu với phương trình cuối cùng, từ đó biến cơ bản tương ứng được thể hiện (chỉ có một biến trong đó) và được thay thế vào các phương trình trước đó, và cứ thế đi lên các “bước”.

Mỗi dòng tương ứng với chính xác một biến cơ bản, vì vậy ở mỗi bước, ngoại trừ biến cuối cùng (trên cùng), tình huống lặp lại chính xác trường hợp của dòng cuối cùng.

Lưu ý: trong thực tế, sẽ thuận tiện hơn nếu không làm việc với hệ thống, mà với ma trận mở rộng của nó, thực hiện tất cả các phép biến đổi cơ bản trên các hàng của nó. Điều thuận tiện là hệ số a11 bằng 1 (sắp xếp lại các phương trình, hoặc chia cả hai vế của phương trình cho a11).

2.2 Các ví dụ về giải SLAE bằng phương pháp Gauss

TẠI phần này số ba các ví dụ khác nhau Hãy để chúng tôi chỉ ra cách SLAE có thể được giải quyết bằng phương pháp Gauss.

Ví dụ 1. Giải SLAE của lệnh thứ 3.

Đặt các hệ số thành 0 tại

ở dòng thứ hai và thứ ba. Để làm điều này, hãy nhân chúng lần lượt với 2/3 và 1 rồi thêm chúng vào dòng đầu tiên:

Để có một hệ phương trình đại số tuyến tính, ta phải giải (tìm các giá trị của ẩn số хi sao cho biến mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức).

Chúng ta biết rằng một hệ phương trình đại số tuyến tính có thể:

1) Không có giải pháp (được không tương thích). 2) Có vô số giải pháp. 3) Có một giải pháp duy nhất.

Như chúng ta nhớ, quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ thống có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm lời giải cho bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, cái mà trong mọi trường hợp dẫn chúng tôi đến câu trả lời! Thuật toán của phương pháp trong cả ba trường hợp đều hoạt động theo cùng một cách. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến ​​thức về các định thức, thì việc áp dụng phương pháp Gauss chỉ yêu cầu kiến ​​thức về các phép toán số học, điều này làm cho nó có thể tiếp cận được ngay cả với học sinh tiểu học.

Các phép biến đổi ma trận mở rộng ( đây là ma trận của hệ thống – ma trận chỉ bao gồm các hệ số của ẩn số, cộng với một cột các số hạng tự do) hệ phương trình đại số tuyến tính trong phương pháp Gauss:

1) với troky ma trận có thể sắp xếp lại nơi.

2) nếu có (hoặc đang) các hàng tỷ lệ (như một trường hợp đặc biệt – giống hệt nhau) trong ma trận, thì nó theo sau xóa bỏ từ ma trận, tất cả các hàng này ngoại trừ một.

3) nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi, thì nó cũng theo sau xóa bỏ.

4) hàng của ma trận có thể nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác 0.

5) đến hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi nhân với một số, khác 0.

Trong phương pháp Gauss, các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình.

Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn:

1. “Di chuyển trực tiếp” – sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính về dạng bậc “tam giác”: các phần tử của ma trận mở rộng nằm bên dưới đường chéo chính bằng 0 (di chuyển từ trên xuống ). Ví dụ, đối với loại này:

Để thực hiện việc này, hãy thực hiện các bước sau:

1) Chúng ta hãy coi phương trình thứ nhất của một hệ phương trình đại số tuyến tính và hệ số tại x 1 bằng K. Phương trình thứ hai, thứ ba, v.v. chúng ta biến đổi các phương trình như sau: chúng ta chia mỗi phương trình (hệ số cho ẩn số, kể cả các số hạng tự do) cho hệ số của x 1 chưa biết, có trong mỗi phương trình và nhân với K. Sau đó, lấy phương trình thứ nhất trừ đi thứ nhất ( hệ số cho ẩn số và số hạng tự do). Ta nhận được tại x 1 trong phương trình thứ hai hệ số 0. Từ phương trình đã biến đổi thứ ba, chúng ta trừ phương trình thứ nhất, vì vậy cho đến khi tất cả các phương trình, trừ phương trình thứ nhất, với x 1 chưa biết sẽ không có hệ số 0.

2) Chuyển sang phương trình tiếp theo. Gọi đây là phương trình thứ hai và hệ số tại x 2 bằng M. Với tất cả các phương trình “cấp dưới”, chúng ta tiến hành như mô tả ở trên. Vì vậy, “dưới” x 2 chưa biết trong tất cả các phương trình sẽ là số không.

3) Chúng ta chuyển sang phương trình tiếp theo và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi còn lại một số hạng tự do chưa biết và đã biến đổi cuối cùng.

1. “Bước đi ngược lại” của phương pháp Gauss là để có được lời giải cho một hệ phương trình đại số tuyến tính (bước đi “từ dưới lên”). Từ phương trình “thấp hơn” cuối cùng, chúng ta nhận được một nghiệm đầu tiên – x n chưa biết. Để làm điều này, chúng tôi giải phương trình cơ bản A * x n u003d B. Trong ví dụ trên, x 3 u003d 4. Chúng tôi thay thế giá trị tìm được trong phương trình tiếp theo “trên” và giải nó với ẩn số tiếp theo. Ví dụ: x 2 – 4 u003d 1, tức là x 2 u003d 5. Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi chúng ta tìm thấy tất cả các ẩn số.

Ví dụ.

Chúng tôi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, như một số tác giả khuyên:

Chúng tôi viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa nó về dạng bước:

Chúng ta nhìn vào “bước” phía trên bên trái. Ở đó chúng ta nên có một đơn vị. Vấn đề là không có cái nào trong cột đầu tiên cả, vì vậy không có gì có thể được giải quyết bằng cách sắp xếp lại các hàng. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng một phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo một số cách. Hãy làm như thế này: 1 bước . Đến dòng đầu tiên, chúng tôi thêm dòng thứ hai, nhân với -1. Tức là chúng ta nhân dòng thứ hai với -1 và thực hiện phép cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái “trừ một”, hoàn toàn phù hợp với chúng tôi. Ai muốn nhận +1 có thể thực hiện một hành động bổ sung: nhân dòng đầu tiên với -1 (thay đổi dấu hiệu của nó).

2 bước . Dòng đầu tiên nhân với 5 được cộng vào dòng thứ 2. Dòng đầu tiên nhân với 3 được cộng vào dòng thứ ba.

3 bước . Dòng đầu tiên được nhân với -1, về nguyên tắc, điều này là để làm đẹp. Dấu hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển sang vị trí thứ hai, do đó, ở bước thứ hai, chúng ta đã có đơn vị mong muốn.

4 bước . Đến dòng thứ ba, thêm dòng thứ hai, nhân với 2.

5 bước . Dòng thứ ba được chia cho 3.

Dấu hiệu cho biết lỗi trong tính toán (ít thường xuyên mắc lỗi đánh máy hơn) là điểm mấu chốt “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta nhận được một cái gì đó như (0 0 11 | 23) dưới đây, và theo đó, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, thì với một mức độ xác suất cao, chúng ta có thể nói rằng một sai lầm đã được thực hiện trong thời gian sơ cấp các phép biến hình.

Chúng tôi thực hiện chuyển động ngược lại, trong việc thiết kế các ví dụ, bản thân hệ thống thường không được viết lại, và các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi nhắc nhở bạn rằng động tác ngược lại hoạt động “từ dưới lên.” Trong ví dụ này, món quà hóa ra:

x 3 = 1 x 2 = 3 x 1 + x 2 – x 3 u003d 1, do đó x 1 + 3 – 1 u003d 1, x 1 u003d -1

Trả lời: x 1 u003d -1, x 2 u003d 3, x 3 u003d 1.

Hãy giải hệ thống tương tự bằng cách sử dụng thuật toán được đề xuất. Chúng tôi nhận được

4 2 -1 1 5 3 -2 2 3 2 -3 0

Chia phương trình thứ hai cho 5 và phương trình thứ ba cho 3. Ta được:

4 2 -1 1 1 0.6 -0.4 0.4 1 0.66 -1 0

Nhân phương trình thứ hai và thứ ba với 4, ta được:

4 2 -1 1 4 2,4 -1.6 1.6 4 2.64 -4 0

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai và thứ ba, ta có:

4 2 -1 1 0 0.4 -0.6 0.6 0 0.64 -3 -1

Chia phương trình thứ ba cho 0,64:

4 2 -1 1 0 0.4 -0.6 0.6 0 1 -4.6875 -1.5625

Nhân phương trình thứ ba với 0,4

4 2 -1 1 0 0.4 -0.6 0.6 0 0.4 -1.875 -0.625

Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ ba, chúng ta nhận được ma trận tăng cường “bậc”:

4 2 -1 1 0 0.4 -0.6 0.6 0 0 -1.275 -1.225

Do đó, do một lỗi tích lũy trong quá trình tính toán, chúng tôi nhận được x 3 u003d 0,96, hoặc xấp xỉ 1.

x 2 u003d 3 và x 1 u003d -1.

Giải theo cách này, bạn sẽ không bao giờ bị nhầm lẫn trong các phép tính và dù có sai sót khi tính toán, bạn vẫn nhận được kết quả.

Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính này dễ dàng lập trình được và không tính đến các đặc trưng riêng của hệ số đối với ẩn số, vì trong thực tế (trong tính toán kinh tế kỹ thuật) người ta phải xử lý các hệ số không nguyên.

Chúc bạn may mắn! Hẹn gặp lại các bạn trong lớp! Gia sư Dmitry Aistrakhanov.

trang web, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.