Bài 1: Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình tuyến tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ begin{array}{l} 2{x_1} – {x_2} + {x_3} – 3{x_4} = 1\ {x_1} – 4{x_3} + 5{x_4} = – 2\ – 2{x_2} + {x_4} = 0 end{array} right.)

Đặt (A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 1}&1&{ – 3}\ 1&0&{ – 4}&5\ 0&{ – 2}&0&1 end{array}} right),,X = ({x_1};{x_2};{x_3};{x_4}) = left( begin{array}{l} {x_1}\ {x_2}\ {x_3}\ {x_4} end{array} right),,và,B = left( begin{array}{l} 1\ – 2\ 0 end{array} right))

Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường hợp tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến tính n ẩn như sau:

(left{ begin{array}{l} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + …. + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\ {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + …. + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}\ …………………………..\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + …. + {a_{mn}}{x_n} = {b_m} end{array} right.)

Đặt (A = {({a_{{rm{ij}}}})_{m,x,n}},,X = left( begin{array}{l} {x_1}\ .\ .\ .\ {x_n} end{array} right),,B = left( begin{array}{l} {b_1}\ .\ .\ .\ {b_n} end{array} right)). Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là AX = B.

• Ma trận (A_{m x n}) gọi là ma trận hệ sổ của hệ phương trình.
• Ma trận (overline A = (A|B)) gọi là ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình.
• X gọi là vectơ ẩn.

Một phương pháp thông dụng để giải hệ phương trình tuyến tính là phương pháp Gauss, đưa ma trận hệ số mở rộng (overline A ) về dạng bậc thang hay bậc thang thu gọn, nhờ các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ begin{array}{l} {x_1} – 2{x_2} – {x_3} = – 6\ 2{x_1} – {x_2} + {x_3} = 3\ {x_1} + {x_3} = 4 end{array} right.,,,(I))

Giải:

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là :

Ta có hệ phương trình (I) tương đương:

(left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_3} = 4\ {x_2} + {x_3} = 5 end{array} right.,,,hay,,left{ begin{array}{l} {x_1} = 4 – {x_3}\ {x_2} = 5 – {x_3} end{array} right.)

Cho ({x_3} = alpha in R), nghiệm của hệ là ({x_1} = 4 – alpha ,{x_2} = 5 – alpha ,{x_3} = alpha )

Như thế, hệ phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là:

(X = (4 – alpha ;5 – alpha ;alpha );alpha in R)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ begin{array}{l} {x_1} – {x_2} = – 1\ 2{x_1} + {x_2} – {x_3} = 1\ {x_2} + {x_3} = 5 end{array} right.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là:

Ta có hệ phương trình tương đương (left{ begin{array}{l} {x_1} = 1\ {x_2} = 2\ {x_3} = 3 end{array} right.)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} – 2{x_3} = 1\ 2{x_1} + {x_3} = 0\ 4{x_1} + 2{x_2} – 3{x_3} = 3 end{array} right.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có hệ phương trình tương đương: (left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} – 2{x_3} = 1\ – 2{x_2} + 5{x_3} = – 2\ 0 = 1 end{array} right.)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Xét hệ phương trình tuyến tính: AX = B với ({A_{m,x,n}},,{X_{n,,x,1}},,{B_{m,x,1}})

Ta có:

• Hệ có nghiệm duy nhất (Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)
• Hệ có vô số nghiệm (Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k < n)
  • Khi đó, hệ phương trình có k ẩn chính ứng với k phần tử dẫn đầu và n – k ẩn tự do, được chuyển sang vế phải.
• Hệ vô nghiệm ( Leftrightarrow R(A) < R(overline A ))

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} – {x_3} = 2\ 2{x_1} + {x_3} = 1\ {x_2} + 2{x_3} = – 2 end{array} right.,(I))

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = R(overline {A)} = 3) số ẩn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình tuyến tính

(left{ begin{array}{l} {x_2} – 2{x_3} = 1\ {x_1} + {x_3} = – 2\ 2{x_1} + 2{x_2} – 2{x_3} = – 1 end{array} right.(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 < R(overline {A)} = 3). Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ begin{array}{l} {x_1} – {x_2} + {x_3} = 3\ 2{x_1} + {x_3} = 2\ 3{x_1} – {x_2} + 2{x_3} = 5 end{array} right.,(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: (Rleft( A right){rm{ }} = {rm{ }}Rleft( {overline A } right){rm{ }} = {rm{ }}2) (số ẩn là 3). Vậy hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn chính ứng với 2 phần tử dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2 theo ẩn tự do x3 ta có hệ phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là: (X = left( {1 – frac{alpha }{2}; – 2 + frac{alpha }{2};alpha } right),với,alpha in R)

Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông không suy biến , nghĩa là (left| A right| ne 0)

Khi đó, ta có nghiệm duy nhất: (X = A^{-1}B)

Nếu cấp của ma trận A khá lớn thì việc tìm (A^{-1}) tương đổi phức tạp. Hơn nữa, có khi ta chi cần tìm một vài ẩn (x_j) thay vì toàn bộ các ẩ(X=(x_1; x_2;….;x_n)). Từ đó, người ta tìm ra công thúc tính từng ẩn (x_j) dựa vào công thức (X = A^{-1}B) như sau :

({x_j} = frac{{{D_j}}}{D})

Trong đó (D = left| A right|,và,{D_j}) là định thức của ma trận có được từ A bằng cách thay cột j bởi vế phải (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ begin{array}{l} {x_1} – 2{x_2} – {x_3} = – 3\ – 3{x_1} + {x_2} = – 2\ – 2{x_1} + {x_3} = 1 end{array} right.)

Giải:

Ta có:

(begin{array}{l} D = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}&{ – 1}\ { – 3}&1&0\ { – 2}&0&1 end{array}} right| = – 7;,,,,{D_1} = left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 3}&{ – 2}&{ – 1}\ { – 2}&1&0\ 1&0&1 end{array}} right| = – 6\ {D_2} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&{ – 1}\ { – 3}&{ – 2}&0\ { – 2}&1&1 end{array}} right| = – 4;,,,{D_3} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}&{ – 3}\ { – 3}&1&{ – 2}\ { – 2}&0&1 end{array}} right| = – 19 end{array})

Vậy nghiệm là (X = left( {frac{{{D_1}}}{D};frac{{{D_2}}}{D};frac{{{D_3}}}{D}} right) = left( {frac{6}{7};frac{4}{7};frac{{19}}{7}} right))

Hệ phương trình tuyến tính AX = 0 gọi là hệ thuần nhất. Ngoài các tính chất chung của hệ AX = B, hệ thuần nhất AX = 0 còn có các tính chất riêng như sau :

• Hệ luôn luôn có nghiệm tầm thường X = 0 (không có trường hợp hệ vô nghiệm)
• Nếu A là ma trận vuông, không suy biến thì hệ có nghiệm duy nhất (X = A^{-1}0 = 0), chính là nghiệm tầm thường.
• Nếu hệ có vô số nghiệm thì tập nghiệm là một không gian con của không gian (R^n) (với n là số ẩn). Một cơ sở của không gian nghiệm được gọi là một hệ nghiệm cơ bản.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính (left{ begin{array}{l} {x_1} – {x_2} + {x_3} = 0\ 2{x_1} – {x_2} = 0\ {x_2} + 2{x_3} = 0 end{array} right.)

Giải:

Ta có: (D = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}&1\ 2&{ – 1}&0\ 0&1&2 end{array}} right| = 4 ne 0)

Đây là hệ Cramer, nên hệ có nghiệm duy nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính (left{ begin{array}{l} {x_1} + 2{x_2} + 5{x_3} = 0\ – 2{x_1} + {x_2} = 0\ – {x_1} + 3{x_2} + 5{x_3} = 0 end{array} right.)

Giải:

Ta có:

Hệ có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là: (X = ( – alpha ; – 2alpha ;alpha ) = alpha ( – 1; – 2;1),alpha in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là {(-1;-2;1)}. Số chiều của không gian nghiệm là 1.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ begin{array}{l} {x_1} – {x_2} – {x_4} = 0\ {x_2} – {x_3} – {x_4} = 0\ 2{x_1} – {x_2} – {x_3} – 3{x_4} = 0 end{array} right.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm tổng quát là:

(X = (alpha + 2beta ;alpha + beta ;alpha ;beta ) = alpha (1;1;1;0) + beta (2;1;0;1),với,,alpha ,beta in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là {(1;1;1;0).(2;1;0;1)}. Số chiều của không gian nghiệm là 2.