Khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến? Công thức và bài tập có giải

Trong toán học, chúng ta cần phải biết cách phân biệt hàm số đồng biến và nghịch biến. Vậy hàm số đồng biến khi nào? Làm thế nào để xét tính đồng biến hay nghịch biến trên một hàm số cụ thể? Bài viết sau đây sẽ giúp bạn hiểu được hàm số đồng biến khi nào, cũng như làm quen với một số dạng bài tập về đồng biến, nghịch biến. Hãy cùng chúng mình tìm hiểu những kiến thức cơ bản của chương trình học Trung học Phổ thông ngay nhé

Định nghĩa hàm số đồng biến và nghịch biến

Cách định nghĩa hàm số đồng biến và nghịch biến được thực hiện như sau:

Hàm số đồng biến là gì?

Cho K là ký hiệu của một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng bất kỳ. Giả sử: Hàm số y = f(x) được xác định trên K.

Lúc này, ta nói: Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Ký hiệu cho hàm số đồng biến là dấu mũi tên hướng lên trên.

Hàm số nghịch biến là gì?

Tương tự với hàm số đồng biến, khi xét hàm số nghịch biến, ta gọi K là ký hiệu của một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng. Hàm số y = f(x) được xác định trên K.

Lúc này, hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Ký hiệu cho hàm số nghịch biến là dấu mũi tên hướng xuống dưới.

Khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến

Khi xét tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số nhất định, ta cần lưu ý những điều kiện dưới đây:

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên K khi và chỉ khi:

• Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi:

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến được thực hiện theo các bước như sau:

• Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số
• Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số đã cho f'(x)
• Bước 3: Tìm các điểm mà tại đó f′(x) = 0 hoặc f′(x) không xác định
• Bước 4: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần
• Bước 5: Lập bảng biến thiên
• Bước 6: Căn cứ vào bảng biến thiên, sau đó ta rút ra kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã được nêu trong đề bài

Bài tập hàm số đồng biến nghịch biến

Sau đây là một số dạng bài tập về hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng nhất định). Các bạn có thể tham khảo để tìm hiểu rõ hơn về dạng toán này.

• Bài tập 1: Cho hàm số y = x4 – 2×2 + 3 . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∩ (0; 1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) ∪ (1; +∞)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∪ (0; 1)

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

Đáp án: D

• Bài tập 2: Chọn đáp án đúng: Khoảng nghịch biến của hàm số y = x3/3 – 2×2 + 3x + 5 là?

A. (1; 3) B. (-∞; 1) ∪ (3; +∞) C. (-∞; 1) và (3; +∞) D. (1; +∞)

Đáp án: A

• Bài tập 3: Cho hàm số y = x³ – (m + 1)x² – (m² – 2m)x + 2020. Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Đáp án: Ta có:

• Bài tập 4: Cho hàm số y = x³ + mx² + 2mx + 3. Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

Đáp án:

• Bài tập 5: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A. y = x3 – 2x – 2.

B. y = x2019 + x2021 – 2.

C. y = -x3 + x + 3.

D. y = x2018 + x2020 – 2.

Đáp án: B

• Bài tập 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f(x) = x + mcosx luôn đồng biến trên R?

A. |m| ≤ 1

B. m > (√3)/2

C. |m| ≥ 1

D. m < 1/2

Đáp án: A

• Bài tập 7: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số dưới đây:

a) y = x3 − 3×2 + 2

b) y = x4 − 2×2

Đáp án:

a) Tập xác định của hàm số y = x3 − 3×2 + 2 là: D = R

Ta có:

b) Tập xác định của hàm số y = x4 − 2×2 là: D = R

Ta có:

Xem thêm:

• Hỗn số là gì? Khái niệm, cách tính hỗn số và bài tập ví dụ minh họa
• Công thức tính diện tích tam giác, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn
• Các cách học giỏi hóa hiệu quả, nhanh nhất cho người mất gốc

Thông qua bài viết trên, hy vọng các bạn đã hiểu được hàm số đồng biến khi nào, cũng như làm quen và tham khảo được một số dạng bài tập liên quan đến dạng toán đồng biến, nghịch biến. Chúc bạn gặt hái được kết quả cao trong tất cả các môn học. Và đừng quên đón đọc nhiều bài viết hữu ích khác tại Bamboo School các bạn nhé!