Định lí Ceva. Cách chứng minh định lí Ceva và ứng dụng giải bài tập

Định lý Ceva. Cách chứng minh định lý Ceva và giải toán

Định lý Ceva, cách chứng minh Định lý Ceva là một trong những định lý thường gặp trong phần hình học cơ bản mà các em đã được học trong chương trình Hình học 8. Nắm vững kiến ​​thức này giúp bạn vượt qua nhiều vấn đề. toán thực tế. Hãy cùng Cmm.edu.vn giải bài toán này nhé!

I. Định lý CEVA LÀ GÌ?

Định lý Ceva là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Cho tam giác ABC, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Định lý phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF đồng quy khi và chỉ khi:

Ngoài ra, định lý Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng quy khi và chỉ khi

.

Đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác gọi là đường thẳng Cevian ứng với đỉnh đó. Một trong các hình tam giác là {displaystyle DEF} là tam giác Cevian của tam giác ABC.

II. CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ CEVA

1. Chứng minh định lý Ceva

Giả sử ta đã có AD,BE,CF đồng quy tại điểm O

sau đó chúng tôi có:

Vì vậy, chúng tôi có một cái gì đó để chứng minh.

2. Chứng minh định lý Ceva ngược

Giả sử ta đã có các điểm D, E, F thỏa mãn

Gọi O là giao điểm của AD,BE và F′ là giao điểm của AB,CO

Theo chứng minh trên, ta có:

Vậy FF′ hay nói cách khác AD,BE,CF đồng quy

Tương tự, chúng ta đã chứng minh cả hai chiều của D/L Ceva. Trong một số bài toán ta cần vận dụng linh hoạt cả chiều thuận và chiều ngược của định lý để giải nhanh bài toán.

3. Ví dụ về định lý Ceva.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác, tiếp tuyến với các cạnh BCm CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là điểm đối xứng của D, E , F đến I. Chứng minh rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.

Câu trả lời:

Xét tam giác ABC có 3 đoạn thẳng Ceva AD, BE, CF đồng quy. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của chúng. M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Ta dễ dàng chứng minh được 3 điểm I, J, K nằm trên 3 cạnh của tam giác MNP. Trong tam giác MNP xét tỉ số K

Khi đó theo định lý Ceva ta có MI, NJ, PK đồng quy (đpcm).

III. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ CEVA GIẢI

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của BC, E, F lần lượt là 2 điểm nằm trên AB, AC sao cho AD, BF, CE đồng quy. Chứng minh rằng EF // BC?

Câu trả lời

Nhận xét: Trong bài tập trên nếu ta sử dụng các dấu hiệu thường dùng để nhận biết hai đường thẳng song song thì rất khó chứng minh. Ở đây chúng ta sử dụng định lý Ceva sẽ dẫn đến một tỷ lệ thuận lợi là (EA/EB = FA/FC) và áp dụng định lý Talet để có kết quả tốt đẹp và ngắn gọn.

Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến tia phân giác của góc BCA. N, L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A, C đến tia phân giác của góc ABC, Gọi F là giao điểm của MN và AC, E là giao điểm của BF và CL, D là giao điểm của BL và AC, Chứng minh rằng DE // MN?

Bài 3: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là điểm đối xứng. của D, E, F qua I. Chứng minh rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.

Câu trả lời:

IV. BÀI TẬP VỀ ĐỊNH LÝ CEVA

Bài tập 1: Cho tam giác ABC và ba điểm E,F,M lần lượt thuộc các cạnh AC,BC,AB sao cho EF||BC và MB=MC. Chứng minh rằng CF,BE,AM đồng quy.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK. Dựng ở phía ngoài tam giác hai hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh rằng AK,BG,CE đồng quy.

Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. Gọi X,Y,Z là ba điểm bất kì nằm trên BC,CA,AB sao cho AX,BY,CZ đồng quy. Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của AX,BY,CZ. Chứng minh rằng MD,NE,PF đồng quy.

Bài 4: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi D′,E′,F′ lần lượt là điểm đối xứng của D,E,F qua I. Chứng minh rằng AD′,BE′,CF′ đồng quy.

Bài 5: Cho tam giác ABC. Đường tròn (O) cắt cạnh BC tại X,Y; cắt CA tại Z,T; cắt cạnh AB tại U,V sao cho XYZTUV là các đỉnh của lục giác lồi. Lấy các giao điểm XT∩YU=A′;ZV∩TX=B′;UY∩VZ=C′. Chứng minh rằng AA′,BB′ và CC′ đồng quy.

Như vậy các bạn vừa tìm hiểu về định lý Ceva trong không gian và cách vận dụng định lý này vào giải toán. Hi vọng bài viết đã cung cấp cho bạn đọc nguồn tư liệu quý, giúp bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm Định lý Menelaus và cách áp dụng cực hay

Bản quyền bài viết thuộc về trường THPT TP Sóc Trăng. Mọi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường Cmm.edu.vn (pgddttramtau.edu.vn)

Bạn thấy bài viết Định lí Ceva. Cách chứng minh định lí Ceva và ứng dụng giải bài tập có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Định lí Ceva. Cách chứng minh định lí Ceva và ứng dụng giải bài tập bên dưới để pgddttramtau.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: pgddttramtau.edu.vn của PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN TRẠM TẤU

Nhớ để nguồn bài viết này: Định lí Ceva. Cách chứng minh định lí Ceva và ứng dụng giải bài tập của website pgddttramtau.edu.vn

Chuyên mục: Văn học