Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cực hay, có lời

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cực hay, có lời giải

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2

Thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta được f(x) = Q(x).f'(x) + ax + b

Gọi (x1;y1) và (x2;y2) là các điểm cực trị thì f'(x1) = f'(x2) = 0

Do đó, ta có

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y = ax + b.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số y = x3 – 2×2 – x + 1

Lời giải

Ta có y’ = 3×2 – 4x – 1, y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có 2 điểm cực trị

Thực hiện phép chia y cho y’ ta được

Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình

Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – m3 có hai điểm cực trị A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.

Lời giải

Thực hiện phép chia y cho y’ ta được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là

AB: y = (-m2 + 6m – 9)x – m2 + 3m – 3

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2×3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 song song với đường thẳng y = -4x + 1.

Lời giải

Ta có y’ = 6×2 + 6(m – 1)x + 6(m – 2)

Hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ’ > 0 ⇔ 9(m – 1)2 – 36(m – 2) > 0 ⇔ 9(m – 3)2 > 0 ⇔ m ≠ 3

Thực hiện phép chia y cho y’ ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

d: y = (-m2 + 6m – 9)x – m2 + 3m – 3

Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3×2 + mx có hai điểm cực trị Avà B đối xứng nhau qua đường thẳng x – 2y – 5 = 0

Lời giải

Ta có: y’ = 3×2 – 6x + m; y’ = 0 ⇔ 3×2-6x + m = 0

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi Δ’ = 9 – 3m > 0 ⇔ m < 3(*)

Thực hiện phép chia y cho y’, suy ra phương trình AB:

Đường thẳng d: x – 2y – 5 = 0 được viết lại

Do A,B đối xứng nhau qua dthì thỏa mãn điều kiên cần là (thỏa mãn (*))

Với m = 0 hàm số có dạng y = x3 – 3×2 có hai điểm cực trị A(0;0), B(2;-4)

Khi đó trung điểm AB là I(1;-2) ∈ d (thỏa mãn điều kiện đủ)

Vậy giá trị m = 0 là đáp số của bài toán.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều cực hay, có lời giải
• Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cực hay, có lời giải
• Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích cực hay, có lời giải
• Cho bảng biến thiên tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang cực hay, có lời giải

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

• Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
• Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
• Kho trắc nghiệm các môn khác