Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

Cho 2 đường thẳng cắt nhau: (d1) A1x + b1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0.

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

Chú ý:

Cho đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 và hai điểm A(xA; yA); B(xB;yB ).

Đặt f(x;y) = Ax + By + C:

+ A và B nằm về cùng một phía đối với ∆ ⇔ f(xA; yA). f(xB; yB) > 0

+ A và B nằm khác phía đối với ∆ ⇔ f(xA; yA). f(xB; yB) < 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

A. x + y = 0 và x – y + 4 = 0 . B. x – y + 4 = 0 và x + y – 2 = 0 .

C. x + y + 2 = 0 và x – y = 0 D. x + y + 1 = 0 và x – y – 3 = 0 .

Hướng dẫn giải

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

Vậy phương trình các đường phân giác tạo bởi d và d’ là :

x – y = 0 và x + y + 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆1: x + 2y – 3 = 0 và ∆2: 2x – y + 3 = 0.

A. x + 3y – 2 = 0 và x = 3y. B. 3x = – y và x – 3y – 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và -x + 3y – 6 = 0. D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng đã cho.

⇒ d(M,Δ1) = d(M,Δ2) ⇒

⇒ x + 2y – 3 = ± (2x – y + 3) ⇒

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB: 2x – y + 4 = 0; AC: x – 2y – 6 = 0 và hai điểm B; C thuộc Ox. Phương trình phân giác ngoài của góc BAC là

A. 3x – 3y – 2 = 0 B. x + y + 10 = 0 C. 3x + 3y + 2 = 0 D. x + y – 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Do hai điểm B và C thuộc Ox nên tọa độ hai điểm đó là : B(-2; 0) và C(6; 0).

Gọi M( x; y) thuộc đường phân giác của góc BAC

Ta có: d(M, AB) = d(M, AC) ⇔ ⇔ |2x – y + 4| = |x – 2y – 6|

⇔

+ Xét vị trí của hai điểm B và C đối với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Ta có : (-2 + 0 + 10).( 6 + 0 + 10) > 0 nên hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Suy ra đường thẳng x + y + 10 = 0 là đường phân giác ngoài của góc BAC.

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2) , B( 1; 2) và C(3; 6 ) . Phương trình đường phân giác trong của góc A là:

A. 2x + y – 2 = 0 B. x – 2y + 4 = 0 C. 2x + y – 4 = 0 D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB :

⇒ ( AB) : 0(x – 0) + 1(y – 2) = 0 hay y – 2 = 0

Đường thẳng AC :

⇒ ( AC) : 4(x – 0) – 3(y – 2) = 0 hay 4x – 3y + 6 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là:

⇔ |4x – 3y + 6| = 5|y – 2|

Đặt f( x; y) = x – 2y + 4

⇒ f( B).f( C) =( 1 – 2.2 + 4) ( 3 – 2.6 + 4) = -5 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng : x – 2y + 4 = 0.

suy ra đường phân giác trong góc A là x – 2y + 4 = 0

Chọn B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 5) ; B( -4; -5) và C( 4; -1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0 B. y – 5 = 0 C. x + 1 = 0 D. x – 1 = 0

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB :

⇒ ( AB) : 2( x – 1) – 1.( y – 5) = 0 hay 2x – y + 3 = 0

Đường thẳng AC :

⇒ ( AC) : 2( x – 1) + 1( y – 5) = 0 hay 2x + y – 7 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là:

⇔ |2x – y + 3| = |2x + y – 7|

⇔

Đặt f( x; y) = y – 5

⇒ f(B).f(C) = ( -5 – 5).( -1 – 5) = 60 > 0

⇒ B và C nằm cùng phía so với đường thẳng : y – 5 = 0.

suy ra đường phân giác ngoài góc A là y – 5 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x – 4y – 3 = 0 và d2 : 12x + 5y – 12 = 0. Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là:

A. 3x + 11y – 3 = 0 B. 11x – 3y – 11 = 0 C. 3x – 11y – 3 =0 D. 11x + 3y – 11 = 0

Lời giải

Các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là:

⇔ 13|3x – 4y – 3| = 5|12x + 5y – 12| .

Gọi I là giao điểm của d1 và d2; tọa độ I là nghiệm hệ

⇒ I( 1;0)

+ Gọi đường thẳng d: 3x + 11y – 3 = 0. Lấy điểm M(-10; 3) thuộc đường thẳng d.

Gọi H là hình chiếu của M lên d1.

Ta có: IM = và

MH = d(M;d1 ) = = 9

Suy ra

Suy ra d: 3x + 11y – 3 = 0 là đường phân giác góc tù nên đường phân giác góc nhọn là 11x – 3y – 11 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A( 1; 3) ; B( 2; m) . Tìm m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0 B. m > – C. m > 1 D. m = –

Hướng dẫn giải

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi:

( 3 + 12 – 5)( 6 + 4m – 5) < 0 hay m > –

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: x + y – 1 = 0; AC: 7x – y + 2 = 0 và BC: 10x + y – 19 = 0. Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.

A. 12x + 4y – 3 = 0 B. 2x + 6y + 7 = 0 C. 12x + 6y – 7 = 0 D. 2x – 6y +7 = 0

Câu 2: Cho tam giác ABC có A(-2; -1); B(-1; 3) và C( 6; 1).Viết phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.

A. x – y + 1 = 0 B. 5x + 3y + 9 = 0 C. 3x + 3y – 5 = 0 D. x + y + 3 = 0

Câu 3: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng ∆: x + y = 0 và trục hoành Ox.

A. (1 + √2)x + y = 0 ; x – (1 – √2)y = 0 . B. (1 + √2)x + y = 0; x + (1 – √2)y = 0 .

C. (1 + √2)x – y = 0; x + (1 – √2)y = 0 . D. Tất cả sai

Câu 4: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆1: x + 2y – 3 = 0 và ∆2: 2x – y + 3 = 0 .

A. 3x + y = 0 và x – 3y = 0 . B. 3x + y = 0 và x + 3y – 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và – x + 3y – 6 = 0. D. 3x + y + 6 = 0 và x – 3y – 6 = 0.

Câu 5: Cho hai đường thẳng d : x + 2y + 3 = 0 và d’ : 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là

A. x + y = 0 ; x – y + 2 = 0 B. x – y = 0 ; x + y + 2 = 0

C. x + y + 2 = 0 ; x – y = 0 D. x + y – 2 = 0 ; x – y – 1 = 0

Câu 6: Cho tam giác ABC có A(1; -2); B( 2; 2) và C(5; -3). Viết phương trình đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC?

A. 5x + 3y + 1 = 0 B. 3x + 2y + 1 = 0 C. x + y + 1 = 0 D. 5x + 2y – 1 = 0

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1) ; B( -1;3) và C( 4; -1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0 B. x + 2y = 0 C. x + 1 = 0 D. 2x – y – 5 = 0

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
• Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
• Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
• Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

• Hơn 7500 câu trắc nghiệm Toán 10 có đáp án
• Hơn 5000 câu trắc nghiệm Hóa 10 có đáp án chi tiết
• Gần 4000 câu trắc nghiệm Vật lý 10 có đáp án