Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Chào mừng bạn đến với pgdgiolinhqt.edu.vn trong bài viết về Cac buoc giai bai toan bang cach lap he phuong trinh chúng tôi sẽ chia sẻ kinh nghiệm chuyên sâu của mình cung cấp kiến thức chuyên sâu dành cho bạn.
Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình với đầy đủ các dạng toán: chuyển động, năng suất, làm chung – làm riêng, tỉ số phần trăm, quan hệ giữa các số, bài toán hình học…
Nào hãy bắt đầu thôi!
Đầu tiên, ta cần phải nhắc lại các bước để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Xem thêm:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất
Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Toán 9 đầy đủ các dạng
Các bước Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Về cơ bản, các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình không khác mấy so với giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Có khác thì chỉ là thêm một phương trình nữa thôi.
Các dạng toán giải bằng cách lập hệ phương trình
Dạng 1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về chuyển động
Phương pháp giải:
Video bài giảng về giải toán bằng cách lập hệ:
Bây giờ ta sẽ thực hành giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình qua các ví dụ sau.
Các ví dụ về giải toán bằng cách lập hệ phương trình
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình: (SGK toán 9 tập 2)
Một chiếc xe tải đi từ TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần Thơ, quãng đường dài 189 km. Ssau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP. Cần Thơ về TP. Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.
Hướng dẫn giải:
Ta sẽ giải bài toán này bằng cách lập hệ phương trình nhé!
Ta sẽ tiến hành lập bảng để thấy rõ mối quan hệ giữa các đại lượng.
Quy tắc lập bảng như sau: cột đầu tiên là các vật/ các xe/ các nhóm/người tham gia vào hoạt động, cột tiếp theo sẽ là các đại lượng ví dụ trong bài này, đó là các cột s, v, t.
Bài toán hỏi vận tốc mỗi xe thì bạn điền ô vận tốc xe tải, vận tốc xe khách tương ứng gọi là x, y (>0 )(km/h), các ô còn lại ta sẽ điền dựa vào công thức liên hệ giữa s, v, t.
Giải thích: Khi hai xe gặp nhau thì:
- Thời gian xe khách đã đi là 1 giờ 48 phút = 9/5 giờ
- Thời gian xe tải đã khởi hành trước 1h xe khách nên đến khi gặp xe khách là xe tải đã đi 1+9/5 giờ = 14/5 giờ
Ta bắt tay vào lập phương trình biểu thị giả thiết:
- Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km tức là: y = x + 13 hay -x +y = 13
- Quãng đường từ HCM đến Cần Thơ dài 189 km tức là: hai quãng đường hai xe đi được đến chỗ gặp nhau có tổng bằng 189: 14x/5 + 9y/5 = 189
Như vậy ta đã lập được hệ phương trình để giải bài toán trên.
Giải hệ phương trình
ra kết quả x = 36, y = 49.
Vậy vận tốc của xe tải là 36 km/h, vận tốc xe khách là 49 km/h. Ta kiểm tra lại điều kiện và trả lời bài toán.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Một ca nô chạy trên dòng sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác cũng trong 7 giờ, ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc nước chảy và vận tốc ca nô lúc nước yên lặng.
Hướng dẫn giải:
Đây là bài toán giải bằng cách lập hệ dạng chuyển động trên dòng sông nên bạn phải chú ý đến vận tốc đi xuôi và vận tốc đi ngược dòng.
Ta sẽ gọi vận tốc riêng của ca nô lúc nước yên lặng là x (km/h) và vận tốc nước chảy là y (km/h).
Điều kiện: x > y >0 ( Vì vận tốc là số dương và vận tốc ca nô bao giờ cũng lớn hơn vận tốc dòng nước)
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng ca nô + vận tốc dòng nước = x + y
Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng ca nô – vận tốc dòng nước = x – y
Lần đầu tiên, ca nô đi xuôi 108 km và ngược dòng 63 km trong 7h nên ta có:
thời gian đi cả quãng sông = thời gian đi xuôi + thời gian đi ngược = 7
tức là
Lần thứ hai, ca nô đi xuôi 81 km và ngược dòng 84 km trong 7h nên ta có:
Vậy ta có hệ phương trình:
Đặt (*)
Ta có hệ pt:
Giải hệ phương trình trên ta được t = 1/27 và u = 1/ 21. Thay lại t, u vào (*) để tìm x, y.
Giải hệ trên ta được x = 24 và y = 3 ( thỏa mãn điều kiện).
Vậy vận tốc ca nô là 24 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A.
Hướng dẫn giải:
Ta sẽ gọi độ dài quãng đường AB là x (km) và thời gian dự định của ô tô đi từ A đến B là y (h). (x, y>0)
Lưu ý ta cần tìm thời điểm xuất phát tại A của ô tô thì chỉ cần lấy 12 giờ trừ đi thời gian ô tô đi hết quãng đường AB, tức là 12 – y.
Ta lập bảng như sau:
Trong giả định 1, nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định, tức là:
Trong giả định 2, nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định, nên ta có:
Vậy hệ phương trình ta lập được sẽ là:
Ta được kết quả x = 350 và y = 8 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy quãng đường AB dài 350 km và thời điểm xuất phát tại A của ô tô là 4(=12-8) giờ sáng.
Dạng 2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về năng suất
Đây là dạng toán khá quen thuộc khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, tuy nhiên bạn cần nắm được các đại lượng của dạng toán này.
- Bài toán về năng suất có 3 đại lượng: khối lượng công việc, năng suất và thời gian.
- Mối quan hệ giữa 3 đại lượng:
- Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gian
- Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian
- Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất
- Bài toán về công việc làm chung, làm riêng, hay vòi nước chảy chung, chảy riêng thì ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.
- Suy ra năng suất là 1/ Thời gian.
- Lập phương trình theo: Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung.
Sau đây, ta cùng làm ví dụ để hiểu cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất nhé:
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?
Hướng dẫn giải:
Ta lưu ý cả đoạn đường được xem là 1 công việc.
Và hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong tức là một ngày hai đội làm chung được 1/24 công việc.
Phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B tức là gấp 1,5 lần. Ở đây nói về năng suất đội A gấp 1,5 lần năng suất đội B.
Người ta hỏi thời gian (số ngày) mỗi đội một mình làm xong công việc thì ta gọi luôn số ngày đội A và B làm 1 mình xong việc lần lượt là x, y (>0).
Ta có thể dùng bảng cho dễ nhìn ra mối liên hệ giữa các đại lượng.
Mỗi ngày đội A làm được 1/x công việc, đội B làm được 1/y công việc, và năng suất đội A gấp 1,5 đội B nên ta có phương trình:
Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong nên mỗi ngày hai đội cùng làm thì được 1/24 công việc. Ta có phương trình:
Vậy ta có hệ phương trình
Giải hệ trên bằng cách đặt ẩn phụ
Ta được kết quả u = 1/40, v = 1/60. Vậy x = 40 và y = 60.
Hai kết quả đều thỏa mãn, vậy ta trả lời:
Đội A làm 1 mình hết 40 ngày thì xong công việc, đội B làm 1 mình hết 60 ngày thì xong công việc.
* Ta có thể giải bài toán trên bằng cách gọi x là năng suất đội A, y là năng suất của đội B và lập hệ phương trình.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2/15 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Ta gọi thời gian vòi thứ nhất và thứ hai chảy riêng đầy bể lần lượt là x, y (>0) (phút).
Như vậy nếu mở vòi 1 trong 10 phút ta được 10/x bể và nếu mở vòi 2 trong 12 phút ta được 12/y bể, ta được tổng là 2/ 15 bể nước.
Suy ra phương trình:
Hai vòi chảy chung thì bể sẽ đầy trong 80 phút, vì thế số phần hai vòi chảy trong mỗi phút là 1/80, tức là:
Ta có hệ phương trình gồm hai phương trình trên, và ta đặt ẩn u = 1/x, v = 1/y để giải.
Ta thu được u = 1/120, v = 1/240 suy ra x = 120, y = 240 và đối chiếu điều kiện thỏa mãn rồi trả lời:
Vòi thứ 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút.
Vòi thứ 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút.
Video bài giảng dạng năng suất:
Dạng 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về số và chữ số
Đây là các bài toán liên quan đến các số: số liên tiếp, tổng, hiệu, tích,… giữa các số hoặc cấu tạo số, các chữ số. Ta cần nắm được các kiến thức về số và chữ số.
Khi giải bài toán về số và chữ số, phải nhớ rằng:
- Nếu A hơn B k đơn vị thì A – B = k hoặc A = B + k.
- Hai số liên tiếp thì hơn kém nhau 1 đơn vị.
- Nếu A gấp k lần B thì A = kB
- Nếu A bằng 1/2 B thì A = B.1/2
4. Số có hai chữ số
với x > 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 9, y lớn hơn hoặc = 0 và y nhỏ hơn hoặc bằng 9.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
Hướng dẫn giải:
Ta cần tìm hai chữ số là hàng chục và hàng đơn vị nên đều là những số tự nhiên, và có thể viết ngược lại được một số mới là số có hai chữ số nên hai số cần tìm đều phải khác 0.
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y.
Khi đó số cần tìm có độ lớn là 10x + y, và số mới khi viết ngược lại có độ lớn là 10y + x.
Mà hai số mới và cũ có liên hệ như sau: số mới bé hơn số cũ 27 đơn vị tức là:
(10x + y) – (10y + x) = 27 => x – y = 3.
Và 2 lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 1 đơn vị, ta có:
2y – x = 1 hay -x + 2 = 1.
Từ đó ta có hệ phương trình:
Giải hệ trên ta được x = 7, y = 4. Vậy số ta cần tìm là 74.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.
Hướng dẫn giải:
Gọi số lớn là x, số bé là y (x, y > 0 và thuộc N).
Tổng chúng bằng 1006 ta có phương trình:
x + y = 1006
Nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư 124, tức là:
x = 2y + 124 => x – 2y = 124
Ta có hệ phương trình như sau:
Giải hệ trên ta được x = 712, y = 294.(thỏa mãn điều kiện)
Vậy số lớn cần tìm là 712 và số bé là 294.
Bài giảng về cách giải bài toán dạng số và chữ số:
Dạng 4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về hình học
Khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về hình học, ta cần phải nhớ lại các công thức tính diện tích các hình thường gặp như hình tam giác vuông, hình chữ nhật, hình vuông.
Các công thức diện tích cần nhớ:
Sau đây là ví dụ giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng hình học.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm², và nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm².
Hướng dẫn giải:
Gọi 2 cạnh góc vuông của hình tam giác vuông là x, y (>0) (cm)
Ta có diện tích của nó là xy/2.
Nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm² tức là:
(x+3)(y+3)/2 = xy/ 2+ 36 hay x + y = 21
Nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm² tức là
(x – 2)(y – 4)/2 = xy/2 – 26 hay x + 2y = 30.
Giải hệ gồm hai phương trình trên, ta được x = 12, y = 9 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là 12 cm, 9 cm.
Dạng 5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tỉ số phần trăm
Ta cùng xem ví dụ sau để hiểu cách làm dạng toán liên quan đến tỉ số phần trăm:
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
Hướng dẫn giải:
Ta gọi giá chưa kể thuế VAT của loại hàng 1 và 2 lần lượt là x, y (>0) (triệu đồng).
Nếu thuế VAT mức 10% với loại hàng thứ 1 và mức 8% với loại hàng thứ 2 thì ta có số tiền phải trả là: 110%x + 108%y = 2,17
Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả là: 109%(x + y) = 2,18.
Giải hệ hai phương trình trên ta thu được: x = 0, 5 và y = 1,5 (thỏa mãn đk)
Vậy người đó phải trả 0,5 triệu cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu cho loại hàng thứ 2 không kể thuế VAT.
Vậy là bài viết đã đi qua các dạng bài giải toán bằng cách lập hệ phương trình, hi vọng bài viết sẽ giúp bạn ôn tập và làm bài hiệu quả.
Hãy like và chia sẻ cho bạn bè mình nếu thấy bài viết có ích.
