Cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cực hay

Cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cực hay

A. Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2:

+ Cách 1: Áp dụng trong trường hợp a1.b1.c1 ≠ 0:

Nếu thì d1 ≡ d2.

Nếu thì d1 // d2.

Nếu thì d1 cắt d2.

+ Cách 2: Dựa vào số điểm chung của hai đường thẳng trên ta suy ra vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2( nếu có) là nghiệm hệ phương trình:

Nếu hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì 2 đường thẳng cắt nhau.

Nếu hệ phương trình trên có vô số nghiệm thì 2 đường thẳng trùng nhau.

Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì 2 đường thẳng song song.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: x- 2y+ 1= 0 và d2: -3x + 6y- 10= 0

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

Ta có:

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

Chọn B.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: 3x – 2y – 6 = 0 và d2: 6x – 2y – 8 = 0.

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

⇒ d1, d2 cắt nhau nhưng không vuông góc.

Chọn D.

Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: = 1 và d2: 3x + 4y – 10 = 0.

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

+ Đường thẳng d1 có VTPT n1→( ; – ) .

+ Đường thẳng d2 có VTPT n2→( 3; 4)

Suy ra: n1→.n2→ = .3 – .4 = 0

⇒ Hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.

Chọn C.

Ví dụ 4. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng 2x + 3y – 1 = 0?

A. 4x + 6y + 10 = 0 . B. 3x – 2y + 1 = 0 C. 2x – 3y + 1 = 0. D. 4x + 6y – 2 = 0

Lời giải

Ta xét các phương án:

+ Phương án A:

Ta có: ⇒ Hai đường thẳng này song song với nhau

+ Phương án B:

Ta có: > Hai đường thẳng này cắt nhau.

+ Phương án C :

Ta có: > Hai đường thẳng này cắt nhau.

+ Phương án D :

Ta có: ⇒ Hai đường thẳng này trùng với nhau

Chọn A.

Ví dụ 5. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng a: 3x + 4y + 10 = 0 và b: (2m – 1)x + m2y + 10 = 0 trùng nhau?

A. m = ± 2 B. m = ± 1 C. m = 2 D. m = -2

Lời giải

Hai đường thẳng a và b trùng nhau khi và chỉ khi:

= 1

⇔ m = 2

Chọn C

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình a: mx + (m-1)y + 2m = 0 và b: 2x + y – 1 = 0. Nếu a song song b thì:

A. m = 2 B. m = -1 C. m = – 2 D. m = 1 .

Lời giải

Ta có: hai đường thẳng a và b song song với nhau khi và chỉ khi :

⇒ m = 2

Chọn A.

Ví dụ 7. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (a) : 2x + y + 4 – m = 0 và ( b) : (m + 3)x + y + 2m – 1 = 0 song song?

A. m = 1 B. m = -1 C. m = 2 D. m = 3

Lời giải

+ Với m = 4 thì phương trình hai đường thẳng là:

( a) : 2x + y= 0 và ( b): 7x + y + 7 = 0

=> Với m = 4 hai đường thẳng a và b không song song với nhau.

+ Với m ≠ 4.

Để a // b khi và chỉ khi :

⇔ m = – 1

Vậy với m = -1 thì hai đường thẳng a và b song song với nhau.

Chọn B.

Ví dụ 8: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (a): 2x – 3y + 2 = 0 và (b): y – 2 = 0.

A. Cắt nhau nhưng không vuông góc

B. Song song

C. Trùng nhau

D. Vuông góc

Lời giải

Giao điểm ( nếu có) của hai đường thẳng (a) và (b) là nghiệm hệ phương trình:

⇒ Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại A(2; 2). (1)

Lại có đường thẳng (a) có VTPT n→( 2; -3) và đường thẳng (b) có VTPT n’→( 0; 1)

⇒ n→.n’→ = 2.0 – 3.1 = -3 ≠ 0 (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra hai đường thẳng đã cho cắt nhau nhưng không vuông góc.

Chọn A.

Ví dụ 9. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( a) : ( m- 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và (b): – x + my + m2 – 2m + 1 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ 1. B. m ≠ 1 và m ≠ 2 C. m ≠ 2 D. m ≠ 1 hoặc m ≠ 2

Lời giải

+ Nếu m = 0 thì hai đường thẳng đã cho trở thành:

(a) : – 3x + 2y – 1 = 0 và (b): – x + 1 = 0 .

Giao điểm của hai đường thẳng này là nghiệm hệ phương trình:

Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng cắt nhau tại A( 1; 2) .

+ Nếu m ≠ 0. Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi:

⇔ m(m – 3) ≠ – 2 ⇔ m2 – 3m + 2 ≠ 0

⇔ m ≠ 1 và m ≠ 2

Chọn B.

Ví dụ 10. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (a): 2x + 4y – 10 = 0 và trục hoành.

A.(0;2) B. (0; 5) C. (2;0) D. (5;0)

Lời giải

Trục hoành có phương trình là: y = 0

Giao điểm của đường thẳng a và trục hoành nếu có nghiệm hệ phương trình :

Vậy giao điểm của (a) và trục hoành là điểm A( 5; 0) .

Chọn D.

Ví dụ 11. Nếu ba đường thẳng (a): 2x + y- 4 = 0; (b) : 5x – 2y + 3 = 0 và (c): mx + 3y – 2 = 0 đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây?

A. B. – C. 12 D. – 12

Lời giải

Giao điểm của đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( ; )

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :

→ – 2 = 0 ⇔ m = -12

Chọn D.

Ví dụ 12. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng (a): 3x – 4y + 15 = 0; (b): 5x + 2y – 1 = 0 và (c):mx – 4y + 15 = 0 đồng quy?

A. m = -5 B. m = 5 C. m = 3 D. m = -3

Lời giải

Giao điểm của đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( -1; 3)

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :

– m – 4.3 + 15 = 0 ⇔ – m + 3 = 0 ⇔ m = 3

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây: (a) : x – 2y + 1 = 0 và (b): – 3x + 6y – 1 = 0

A. Song song. B. Trùng nhau. C. Vuông góc nhau. D. Cắt nhau.

Câu 2: Đường thẳng (a) :3x – 2y – 7 = 0 cắt đường thẳng nào sau đây?

A. ( d1) : 3x + 2y = 0 B. (d2) : 3x – 2y = 0

C. (d3): -3x + 2y – 7 = 0 D. (d4): 6x – 4y – 14 = 0

Câu 3: Hai đường thẳng (a): 4x + 3y – 18 = 0 và (b) : 3x + 5y – 19 = 0 cắt nhau tại điểm có toạ độ:

A. (3; 2) B. ( -3; 2) C. ( 3; -2) D. (-3; -2)

Câu 4: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d: y = 2x – 1

A. 2x – y + 5 = 0 B. 2x – y – 5 = 0 C. – 2x + y = 0 D. 2x + y – 5 = 0

Câu 5: Hai đường thẳng (a) : mx + y = m + 1 và (b): x + my = 2 song song khi và chỉ khi:

A. m = 2 B. m = ± 1 C. m = -1 D. m = 1

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng (a): 2x – 3my + 10 = 0 và ( b) : mx + 4y + 1 = 0 cắt nhau.

A. 1 < m < 10 B. m = 1 C. Không có m. D. Với mọi m.

Câu 7: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (a): mx + y – 19 = 0 và (b): ( m – 1).x + (m + 1).y – 20 = 0 vuông góc?

A. Với mọi m. B. m = 2 C. Không có m. D. m = 1

Câu 8: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( a): 3mx + 2y + 6 = 0 và (b) : (m2 + 2)x + 2my + 6 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ ±3 B. m ≠ ±2 C. mọi m D. m ≠ ±1.

Câu 9: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (a) 7x – 3y – 1 = 0 và (b): x + 2 = 0.

A. (-2; 5) B. (-2; -5) C. (-2; -4) D. (-4; 3)

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình (a) : 3x – 4y + 15 = 0, ( b): 5x + 2y – 1 = 0 và (c) : mx – (2m – 1)y + 9m – 13 = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.

A. m = B. m= -5 C. m= – D. m= 5

Câu 11: Cho 3 đường thẳng d1 : 2x + y – 1 = 0 ; d2 : x + 2y + 1 = 0 và d3 : mx – y – 7 = 0. Để ba đường thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là:

A. m= -6 B. m = 6 C. m = -5 D. m = 5

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

• Các công thức về phương trình đường thẳng
• Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng
• Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
• Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc
• Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng
• Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng
• Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

• Hơn 7500 câu trắc nghiệm Toán 10 có đáp án
• Hơn 5000 câu trắc nghiệm Hóa 10 có đáp án chi tiết
• Gần 4000 câu trắc nghiệm Vật lý 10 có đáp án