Lý thuyết và bài tập về đạo hàm phân số – Đầy đủ và Chính xác

Nhằm giúp các bạn học sinh củng cố kiến thức và vận dụng giải bài tập được tốt nhất, bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại các lý thuyết quan trọng cần nhớ và hướng dẫn giải chi tiết các bài tập đạo hàm phân số.

Lý thuyết về đạo hàm của phân số

Đầu tiên, chúng ta cùng điểm qua và tóm tắt lại một số kiến thức quan trọng cần nhớ của đạo hàm phân số. Để việc thực hiện giải các bài tập liên quan trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.

1 – Đạo hàm là gì?

• Đạo hàm của một hàm số thực chất là việc mô phỏng sự biến thiên của một hàm số tại một điểm. Đạo hàm phân số là một trong những công thức đạo hàm của hàm số.
• Bên cạnh đó, theo sách giáo khoa lớp 11 thì đạo hàm được định nghĩa là tỉ số giữa số gia của hàm số với số gia của đối số tại một điểm x0 xác định.
• Chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của sự biến thiên đó được thể hiện thông qua giá trị của đạo hàm của hàm số đó.
• Công thức đạo hàm có ý nghĩa quan trọng trong hình học và vật lý. Không chỉ thế, hiện nay các ứng dụng của đạo hàm cũng rất đa dạng và được sử dụng rộng rãi hơn. Ngoài hình học và vật lý thì ta còn bắt gặp chúng trong công tơ xe máy, tính thời gian của vận động viên bơi và chạy, lĩnh vực xây dựng và trong kinh tế.

2 – Hàm phân thức là gì?

• Theo toán học thì hàm phân thức là một hàm số được biểu hiện dưới dạng tỉ số của hai hàm đa thức bất kỳ. Và chúng được viết dưới dạng:

• Trong đó P và Q là các đa thức đối với x và cần lưu ý Q không được là một đa thức 0.
• Tập xác định của hàm số phân thức là tập hợp của các điểm x mà tại đó chúng có mẫu số khác không.
• Khi Q(x)=1 thì khi đó các đa thức đều là phân thức.
• Biểu thức phân thức có các x không bắt buộc phải là một biến số.
• Một phương trình phân thức được định nghĩa là một phương trình mà trong đó hai biểu thức phân thức sẽ bằng nhau.
• Các biểu thức phân thức đó cũng phải tuân theo các quy tắc trong một phân số và phương trình dạng phân thức có thể được giải bằng luật ba cũng được.

Hàm phân thức.

Cách đạo hàm phân số

Như ta đã biết thì đạo hàm phân số là một trong những dạng toán phổ biến của đạo hàm. Vậy đạo hàm của phân số là như thế nào và có các dạng đạo hàm phân số nào? Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu tiếp theo sau đây:

1 – Công thức đạo hàm phân số

Về công thức thì phần đạo hàm phân số có 5 dạng công thức cần nhớ để có thể thực hiện được các bài toán được tốt hơn. Cụ thể thì bạn có thể tham khảo bảng công thức như sau:

2 – Quy tắc tính đạo hàm của phân số

Ta cần nhớ công thức và vận dụng chúng trong quá trình đạo hàm các bài tập về phân số. Nếu bài toán yêu cầu ta tính đạo hàm tại một điểm x0 xác định thì ta tính đạo hàm của hàm đó rồi chỉ cần thay x0 vào là có được kết quả của bài toán.

Các công thức của đạo hàm phân số.

3 – Các ví dụ liên quan

Nội dung: Hãy vận dụng các công thức đã học và tính đạo hàm của phân số đã cho dưới đây:

Cách giải: để thực hiện được bài toán này thì bạn có thể đạo hàm ngay lập tức cũng được nhưng bài toán sẽ bị dài và rắc rối hơn. Do đó, bạn cần biến đổi và rút gọn một chút về tối giản nhất. Sau đó, tiến hành đạo hàm phần phân số đã được rút gọn là được. Bạn có thể tham khảo cách giải của bài toán này sau đây:

Các bài tập về đạo hàm phân số

Sau khi đã nắm rõ về lý thuyết và các công thức quan trọng của bài học này. Chúng ta sẽ cùng thực hiện các bài tập về đạo hàm phân số để việc hiểu và nắm bắt bài học được tốt nhất.

1 – Bài toán 1

Nội dung: Hãy vận dụng các công thức đã học để tiến hành tính đạo hàm của hàm số phân thức đã cho dưới đây:

Cách giải: Ở bài toán này thì đây là dạng toán đơn giản nhất của dạng đạo hàm phân số. Vì bài toán đã ở dạng tối giản nhất nên chúng ta chỉ cần tiến hành đạo hàm phân số này theo các công thức đã cho ở trên. Sau đó, đạo hàm từng phần đa thức nhỏ rồi rút gọn về mức tối giản nhất là được. Bạn có thể tham khảo cách giải bài toán này sau đây:

2 – Bài toán 2

Nội dung:Hãy vận dụng các công thức đã học để tiến hành tính đạo hàm của hàm số phân thức đã cho dưới đây:

Cách giải: Ở bài toán này thì có đa thức bậc 2 nhưng cũng được thực hiện không quá khó. Vì bài toán đã ở dạng tối giản nhất nên bạn chỉ cần tiến hành đạo hàm theo các công thức đã học ở trên là được. Sau đó, tiến hành rút gọn giá trị đạo hàm về mức có thể. Bạn có thể tham khảo cách giải chi tiết của bài toán này sau đây:

3 – Bài toán 3

Nội dung: Hãy vận dụng các công thức đã học để tiến hành tính đạo hàm của hàm số phân thức đã cho dưới đây:

Cách giải: Ở bài toán này chúng ta cũng thấy không thể rút gọn bài toán được nữa nên áp dụng các công thức đã học để tính đạo hàm của bài toán này là được. Bạn có thể tham khảo cách giải chi tiết của bài toán này dưới đây:

4 – Bài toán 4

Nội dung:Hãy vận dụng các công thức đã học để tiến hành tính đạo hàm của hàm số phân thức đã cho dưới đây:

Cách giải: Ở bài toán này thì cách giải cũng tương tự như những bài toán trên. Đầu tiên ta thấy bài toán đã ở mức tối giản nghĩa là không thể rút gọn được nữa. Khi đó, ta tiến hành áp dụng các công thức đã học ở trên để đạo hàm bài toán. Bạn có thể tham khảo cách giải chi tiết của bài toán này sau đây:

5 – Bài toán 5

Nội dung: Cho một hàm số phân thức sau và hãy tính đạo hàm của hàm số tại điểm x=0.

Cách giải: Ở bài này ta thấy không thể rút gọn biểu thức thêm được nữa. Do đó, ta tiến hành đạo hàm phân số trên theo công thức đã học. Sau đó, tiến hành rút gọn phần phân số đã đạo hàm về mức tối giản nhất. Cuối cùng, chỉ cần thế phần giá trị x=0 mà đề bài đã cho vào là ta tính được kết quả của bài toán. Bạn có thể tham khảo cách giải bài toán này như sau:

Một số bài tập về đạo hàm phân số khác.

Kết luận

Đạo hàm phân số là một trong những dạng bài tập phổ biến thường gặp của đạo hàm. Dạng bài này chỉ có 5 công thức liên quan cần nhớ, tuy nhiên, cũng cần nhớ cả những công thức đạo hàm cơ bản để thực hiện bài toán được tốt hơn. Ngoài ra, bạn cũng cần thực hiện thêm các bài tập liên quan từ cơ bản đến nâng cao và ở đa dạng các loại bài để có thể nhớ và biết cách vận dụng lý thuyết vào các bài tập một cách tốt nhất.

Trên đây là các công thức về các kiến thức quan trọng và hướng dẫn thực hiện chi tiết các bài tập đạo hàm phân số mà chúng tôi muốn gửi đến bạn. Hy vọng những thông tin hữu ích được cung cấp ở trên có thể giúp bạn củng cố được kiến thức và biết cách vận dụng các kiến thức này vào các bài tập liên quan được tốt nhất.